Ordinal limite

En mathématiques et plus précisément en théorie des ensembles, un ordinal limite est un nombre ordinal non nul qui n'est pas un ordinal successeur.

Définition

D'après la définition ci-dessus, un ordinal α est limite si et seulement s'il satisfait l'une des propositions équivalentes suivantes :

• α ≠ 0 et ∀ β  β+1 ≠ α ;
• 0 < α et ∀ β < α  β+1 < α ;
• α ≠ 0 et ∀ β < α  ∃ γ   β < γ < α ;
• α est non nul et égal à la borne supérieure de tous les ordinaux qui lui sont strictement inférieurs (l'ensemble des ordinaux strictement inférieurs à un ordinal successeur β +1 possède un plus grand élément, l'ordinal β) ;
• en tant qu'ensemble d'ordinaux, α n'est pas vide et ne possède pas de plus grand élément ;
• α peut s'écrire sous la forme ω·γ avec γ > 0 ;
• α est un point d'accumulation de la classe des nombres ordinaux, munie de la topologie de l'ordre.

Certains manuels incluent également 0 parmi les ordinaux limites.

Exemples

La classe des nombres ordinaux étant bien ordonnée, il existe un ordinal limite plus petit que tous les autres, noté ω. Cet ordinal ω est également le plus petit ordinal infini et est la borne supérieure des entiers naturels. L'ordinal limite suivant est ω + ω = ω·2, suivi par ω·n, pour tout entier naturel n. À partir de la réunion de tous les ω·n, on obtient ω·ω = ω². Ce procédé peut être itéré pour produire :

$\omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\epsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}},\ldots$

Tous ces ordinaux demeurent dénombrables. Cependant, il n'existe aucune méthode récursivement énumérable pour nommer systématiquement tous les ordinaux plus petits que l'ordinal de Church–Kleene, qui est lui-même dénombrable.

Le premier ordinal non dénombrable est généralement noté ω₁. Il s'agit également d'un ordinal limite.

En poursuivant, on peut définir les ordinaux limites suivants, correspondant à des cardinaux :

$\omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega +1},\ldots ,\omega _{\omega _{\omega }},\ldots$

En général, on obtient un ordinal limite en considérant la réunion d'un ensemble d'ordinaux qui n'admet pas de plus grand élément.

Les ordinaux de la forme ω²α, pour α > 0, sont des limites de limites, etc.

Articles connexes

• Cardinal limite
• Fonction de Veblen