Imre Bárány

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Imre Bárány
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Imre Bárány est un mathématicien hongrois (né le à Mátyásföld, un quartier de Budapest) qui travaille en combinatoire, géométrie discrète, convexité et leur applications à l’informatique théorique.

Bárány est chercheur à l'Institut de recherches mathématiques Alfréd Rényi de l'Académie hongroise des sciences. Il est également professeur à l'University College de Londres. Il a obtenu un BSc en mathématiques à l’Université Loránd Eötvös de Budapest en 1971, et un PhD en 1982[1]. Il était professeur invité au Laboratoire analyse et mathématiques appliquées de l'Université Paris-Est-Marne-la-Vallée en mai-.

Contributions[modifier | modifier le code]

En 1978, Bárány donne une nouvelle démonstration, plus courte que celle de László Lovász, qui date aussi de 1978, d'une conjecture de Martin Kneser sur le nombre chromatique des graphes de Kneser[2], reproduite dans les Raisonnements divins de Martin Aigner et Günter M. Ziegler[3].

En 1980, Bárány donne une nouvelle démonstration du théorème de Borsuk-Ulam[4]. La démonstration est aussi présentée dans le livre Using the Borsuk-Ulam theorem de Jiří Matoušek[5].

En 1981, il démontre, avec Senya B. Shlosman et András Szucs, une généralisation topologique du théorème de Helge Tverberg en combinatoire topologique[6]. Il revient sur ce sujet en 2016 dans les Notices de l'AMS[7]

En 1982, Bárány donne une généralisation du théorème de Carathéodory en géométrie[8]. Il revient plusieurs fois ultérieurement à ce théorème.

Avec Zoltán Füredi (en), il donne en 1983 un algorithme pour le protocole cryptographique Mental Poker (en)[9]. En 1987, toujours avec Füredi, il démontre que le calcul du volume d'un ensemble convexe d'un espace de dimension n défini par un oracle d'appartenance est un problème NP-difficile[10].

En 2000, Bárány résout le problème, formulé par James Joseph Sylvester, de la probabilité pour qu'un ensemble de points soit en position aléatoire[11]. Sylvester cherchait[12] en 1864 la probabilité pour que quatre point aléatoires du plan forment un quadrilatère réentrant quadrilateral[13]. La généralisation est le problème de la probabilité p(K,n) pour que n points aléatoires d'un polygone convexe K en dimension d soient en position convexe,c'est-à-dire tels qu'aucun des points n'est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des autres points[14]. Bárány considère divers cas du problème général[15].

Avec Vershik et Pach, Bárány résout en deux articles un problème, posé par Vladimir Arnold, sur le nombre de polygones convexes composés de points d'un réseau[16],[17]. Avec Van H. Vu, il démontre un théorème central limite pour des polytopes aléatoires[18].

En 1989, Bárány donne, avec László Lovász et Füredi, une estimation asymptotique du nombre de plans qui partagent un ensemble S de n points en position générale de l'espace à 3 dimensions en deux parties de même taille, avec la condition que chaque plan contient exactement trois points de S[19]. Avec Füredi et János Pach, il démontre la conjecture des six cercles de László Fejes Tóth[20]. Cette conjecture affirme qu'un arrangement de cercles du plan où chaque cercle est tangent à six cercles voisins est soit un arrangement hexagonal de cercles de même rayon, soit contient des cercles de rayon arbitrairement petit.

Prix et distinctions[modifier | modifier le code]

En 1988, Bárány reçoit le prix Alfréd-Rényi, en 1996 le prix de mathématiques (maintenant appelé prix Paul-Erdős) de l'Académie hongroise des sciences. En 1998, il reçoit le prix de l'Académie hongroise des sciences, et en 2016 le prix Széchenyi. Il devient membre correspondant de l'Académie hongroise des sciences en 2010.

En 2002, il est conférencier invité au Congrès international des mathématiciens à Pékin (Random Points, convex bodies, and lattices)[21]. En 2012, il est élu Fellow de l'American Mathematical Society[22].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Page de Bárány à l'University College de Londres.
  2. ↑ Imre Bárány, « A short proof of Kneser’s conjecture », J. Comb. Theory A, vol. 25, no 3,‎ , p. 325–326 (DOI 10.1016/0097-3165(78)90023-7, lire en ligne, consulté le ).
  3. ↑ Martin Aigner et Günter M. Ziegler (trad. de l'anglais par Nicolas Puech, ill. Karl H. Hofmann), Raisonnements divins : Quelques démonstrations mathématiques particulièrement élégantes, Paris/Berlin/Heidelberg etc., Springer-Verlag Paris, , 3e éd., x+ 308 (ISBN 978-2-8178-0399-9, SUDOC 167896725), chap. 38 (« The chromatic number of Kneser graphs »), p. 251-256. — Réimpression en 2017 : Lavoisier Hermès, DL (ISBN 978-2-7462-4798-7).
  4. ↑ Imre Bárány, « Borsuk's theorem through complementary pivoting », Mathematical Programming, vol. 18, no 1,‎ , p. 84-88 (DOI 10.1007/BF01588299, lire en ligne).
  5. ↑ Jiří Matoušek, Using the Borsuk-Ulam theorem : lectures on topological methods in combinatorics and geometry, Berlin New York, Springer, , 196 p. (ISBN 978-3-540-00362-5, lire en ligne).
  6. ↑ Imre Bárány, Senya B. Shlosman et András Szücs, « On a topological generalization of a theorem of Tverberg », Journal of the London Mathematical Society (série 2), vol. 23, no 1,‎ , p. 158–164 (MR 602247, lire en ligne).
  7. ↑ Imre Bárány, Pavle V. M. Blagojević et Günter M. Ziegler, « Tverberg’s Theorem at 50: Extensions and Counterexamples », Notices of the American Mathematical Society, vol. 63, no 7,‎ , p. 732-739 (lire en ligne).
  8. ↑ Imre Bárány, « A generalization of Carathéodory's theorem », Discrete Mathematics, vol. 40, nos 2-3,‎ , p. 141–152 (DOI 10.1016/0012-365X(82)90115-7, lire en ligne).
  9. ↑ Imre Bárány et Zoltán Füredi, « Mental poker with three or more players », Information and Control, vol. 59, nos 1-3,‎ , p. 84–93 (DOI 10.1016/S0019-9958(83)80030-8)
  10. ↑ Imre Bárány et Zoltán Füredi, « Computing the volume is difficult », Discrete & Computational Geometry, vol. 2, no 4,‎ , p. 319-326 (DOI 10.1007/BF02187886, lire en ligne).
  11. ↑ Imre Bárány, « Sylvesters question: the probability that n points are in convex position », Annals of probability, vol. 27, no 4,‎ , p. 2020-2034 (JSTOR 2652854, lire en ligne).
  12. ↑ J. J. Sylvester, « Problem 1491 », The Educational Times, Londres, avril 1864.
  13. ↑ Un quadrilatère réentrant quadrilateral est tel que l'un des quatre points se trouve à l'intérieur du triangle formé par les trois autres points.
  14. ↑ Le problème de Sylvester concerne le complément de cette probabilité, c'est-à-dire le cas où les points ne sont pas en position convexe.
  15. ↑ Un article de synthèse est paru dans le Bulletin de l'AMS : Imre Bárány, « Random points and lattice points in convex bodies », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 45, no 3,‎ , p. 339-365 (DOI 10.1090/S0273-0979-08-01210-X, lire en ligne).
  16. ↑ Imre Bárány et János Pach, « On the Number of Convex Lattice Polygons », Combinatorics, Probability and Computing, vol. 1, no 04,‎ , p. 295–302 (ISSN 0963-5483, DOI 10.1017/S0963548300000341, lire en ligne)
  17. ↑ Imre Bárány et Anatoly M. Vershik, « On the number of convex lattice polytopes », Geometric and Functional Analysis, vol. 12, no 4,‎ , p. 381-393 (lire en ligne).
  18. ↑ Imre Bárány et Van Vu, « Central limit theorems for Gaussian polytopes », The Annals of Probability, vol. 35, no 4,‎ , p. 1593–1621 (DOI 10.1214/009117906000000791, MR 2330981, lire en ligne).
  19. ↑ I. Bárány, Z. Füredi et L. Lovász, « On the number of halving planes », Combinatorica, vol. 10, no 2,‎ , p. 175–183 (DOI 10.1007/BF02123008, lire en ligne).
  20. ↑ Imre Bárány, Zoltan Füredi et János Pach, « Discrete convex functions and proof of the six circle conjecture of L. Fejes Toth », Canadian J. Mathematics, vol. 36, no 3,‎ , p. 569-576 (lire en ligne).
  21. ↑ « Invited Speakers for ICM2002 », Notices of the American Mathematical Society, vol. 48, no 11,‎ , p. 1343-1345 (lire en ligne, consulté le ).
  22. ↑ List of Fellows of the American Mathematical Society.

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