Discussion:Partie entière et partie fractionnaire

Remarque sur la fusion

Les deux articles ont fusionné, soit.

Mais il manque quelques trucs selon moi :

• La définition de la partie entière par défaut. (seul entier qui vérifie blabla)
• La définition de la partie entière par excès grâce à la définition de la partie entière par défaut.
• Les digressions des utilités de ces fonctions, par exemple dans les suites rationnelles tendant vers des irrationnels et réciproquement.
• Des démonstrations !!! Rien n'est démontré... C'est assez dommage, car une personne, qui veut en savoir plus, voudra comprendre pourquoi il y a ces résultats.

Qu'en pensez-vous ? --FreddyFerris (d) 2 janvier 2009 à 07:23 (CET)

Remarque sur les preuves

Je suis assez d'accord avec Freddy pour les preuves. Je peux compléter l'article en ajoutant la fameuse preuve sur la partie entière de x : E(x + p) = E(x) + p pour x réel et p entier.

Jérôme.

Partie décimale et partie fractionnaire

Comme vous le remarquez dans l'article, « certains considèrent l'expression « partie fractionnaire » impropre ; en effet, la partie fractionnaire d'un irrationnel n'est pas rationnelle, donc n'est pas une fraction. »
Sur certaines pages d'Internet, je vois employée l'expression « partie fractionnaire » pour un rationnel et « partie décimale » pour un réel quelconque (qui a toujours un développement décimal, même s'il n'est pas décimal).
Quelle différence faites-vous entre « partie fractionnaire » et « partie décimale » ? Je n'ai pas trouvé sur Wikipédia d'article, de définition, de l'expression « partie décimale »... 2A01:CB00:796:3C00:EC5F:7C9C:92A0:C01F (discuter) 20 juin 2020 à 08:40 (CEST)

Nous, on est censé ne faire de différence que si on les trouve dans les sources. Il est donc regrettable que le terme partie décimale ne soit pas évoqué dans cet article alors qu'il est présent dans les sources papier. Les sources papier sont nombreuses pour définir le terme de partie entière mais plus rares pour définir ce qui reste quand on enlève la partie entière qui est souvent nommé de manière implicite

le terme de partie fractionnaire est attestée pour un réel par exemple ici

le terme de partie décimale est attestée pour un nombre décimal (et non pour un nombre réel) en mathématique élémentaire « un nombre décimal est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale » dans ce manuel pour professeur des écoles. Cette usage est ancien : on peut lire «En énonçant un nombre décimal écrit, on peut distinguer ou réunir sa partie entière et sa partie décimale. Si l'on veut distinguer la partie entière de la partie décimale, on énonce d'abord la partie entière puis la partie décimale, comme si c'était un nombre entier en indiquant l'ordre décimal des unités que représente son dernier chiffre : 4,038 s'énonce 4 unités et 38 millièmes» dans ce manuel de 6e du XIXe siècle

Certains puristes voudraient établir une différence comme ce lexique canadien en ligne mais cela ne se reflète pas dans les sources.

mon opinion propre : la notion est ancienne, elle apparait dès l'apparition des décimaux ou l'écriture des nombres sous forme de fraction décimale . A cette époque, la notion de nombre n'est pas stabilisé et le terme de fraction décimale a dû donner les deux versions pour la partie après la virgule : partie fractionnaire, partie décimale.

Mon action sur l'article : faire apparaitre le terme de partie décimale. HB (discuter) 20 juin 2020 à 10:40 (CEST)

D'accord, merci. J'avais moi aussi vu https://lexique.netmath.ca/partie-decimale-dun-nombre-reel/. C'est bien d'avoir rajouté le terme partie décimale à l'article, ça manquait. En plus, je vois que vous avez créé la redirection partie décimale. Parfait ! Merci ! 2A01:CB00:796:3C00:D67:857B:F5B2:28A3 (discuter) 20 juin 2020 à 15:32 (CEST)

Formule de Sylvester (résolu)

Je demande des refs pour la formule de Sylvester sur 3 points

• L'idée que cela se déduit des lignes précédentes car j'ai vainement cherché une conséquence directe. J'ai bien une très jolie démonstration graphique sous le coude mais elle n'a rien à voir avec les lignes précédentes et elle me conduit à douter de la légitimité du second point:
• Pourquoi prendre m > n ? Ma démonstration graphique marche aussi pour m < n
• Le nom de formule de Sylvester ne renvoie à rien de ce genre quand je cherche sur internet. Le document mis en source fait référence à un autre comptage pour la formule de Sylvester (comptage donnant aussi (n-1)(m-1)/2)

Pour les curieux, ma dem graphique : on considère les points O (0,0), N(n,0), P(n,m), M(0,m), et le segment [OP] de pente m/n. E(k m/n) représente le nombre de points de coordonnées entières et d'abscisse k situés sous le segment [OM] et strictement au dessus de l'axe des abscisses. La somme de tous les E(k m/n) représente l'ensemble des points de coordonnés entières intérieurs strictement au rectangle ONPM et sous le segment [OP]. Par symétrie du rectangle, il y a autant de points dans l'autre demi-rectangle et aucun situé sur ]OP[ puisque m et n sont premiers entre eux. Les points de coordonnées entières intérieurs au rectangle ONMP sont au nombre de (n-1)(m-1). Donc, dans le demi-rectangle (n-1)(m-1)/2

HB (discuter) 25 septembre 2021 à 15:04 (CEST)

Merci Anne

• Le «on en déduit» devient plus logique
• la suppression de la condition m > n me satisfait
• reste le nom de «formule de Sylvester». Dans le Problème des pièces de monnaie ou plus simplement dans Équation diophantienne ax + by = c#Recherche de solutions dans l'ensemble des entiers naturels, je vois bien apparaître l'égalité que j'ai appelé Théorème de Cesàro (mais que je veux bien appeler formule de Sylvester) mais elle donne le nombre d'entiers r compris entre 0 et ab-1 pour lesquels l'équation ax+by =r n'admet pas de solutions. Le lien avec la somme des E(k b/a) n'est absolument pas triviale, je le pressens dans le développement qu'en fait Dickson sans que cela soit clairement explicité. Mais on va s'en contenter .

HB (discuter) 26 septembre 2021 à 17:31 (CEST)

Formule de Sylvester

- Personnellement je ne vois pas le lien indiqué par "on en déduit".

- HB ne mettrait il pas sa belle démonstration graphique en boite déroulante (l'article de Blazek présentant une démonstration similaire mais moins facile à obtenir ) ?--Robert FERREOL (discuter) 28 septembre 2021 à 07:53 (CEST)

Le lien procède de la même idée : utiliser une symétrie.

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {(n-k)m}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor m-{\frac {km}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=1}^{n-1}m+\left\lfloor -{\frac {km}{n}}\right\rfloor$

$2\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor =(n-1)m+\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor -{\frac {km}{n}}\right\rfloor$

Or si km/n n'est pas entier $\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor -{\frac {km}{n}}\right\rfloor =-1$

ce qui donne dans le cas ou m et n sont premiers entre eux

$2\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor =(n-1)m-(n-1)$

et, dans le cas où pgdc(n,m)=d, pour d - 1 valeurs de k, km/n est entier et la somme est nulle, donc

$2\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor =(n-1)m-(n-1)+d-1$

C'est ainsi que je comprends le «on en déduit» mais ton doute prouve qu'une source serait bien utile

Concernant les dems, j'ai acquis la conviction que d'en mettre des persos est plus source de risques que de bénéfice, d'où ma réticence. Une bonne source vaut mieux qu'une bonne dem. HB (discuter) 28 septembre 2021 à 08:24 (CEST)

sylvester/ polezzi

Grâce au collègue Claude Morin j'ai obtenu une "bonne" référence, de Polezzi, qui utilise la m^me démonstration géométrique que vous.

maintenant je trouve qu'il serait bien de mettre votre démonstration utilisant [x]+[-x] en menu déroulant...--Robert FERREOL (discuter) 29 septembre 2021 à 22:12 (CEST)

Notation pour l'arrondi au plus proche

La demande de source est légitime. Nous ne sommes pas les seuls à nous poser la question (voir https://math.stackexchange.com/questions/681252/notation-for-rounding-in-equation) et leur réponse, à vérifier, dit qu'on trouve une telle notation dans Flajolet and Sedgewick, Analytic Combinatorics (Cambridge University Press, 2009), p. 43 et 260. Wolfram signale cette notation dans Hastad, J.; Just, B.; Lagarias, J. C.; and Schnorr, C. P. Polynomial Time Algorithms for Finding Integer Relations among Real Numbers. SIAM J. Comput. 18, 859-881, 1988.

 Curios7ty : penses-tu la référence Wolfram suffisante? HB (discuter) 24 avril 2022 à 09:02 (CEST)

Merci @HB pour ta réponse. Merci pour les recherches que j'admets ne pas avoir pris le courage de faire hier. Et pour ma part, la référence Wolfram me satisfait pleinement, cela permet simplement de corroborer cette notation avec d'autres écrits. Je m'étais initialement posé la question, non pas que je doutais de la notation, qui est pleinement compréhensible et logique, mais qui aurait relevé d'une initiative personnelle non généralement admise, et qui a potentiellement été la source d'une "erreur"/incohérence sur une autre page wp ($\lfloor \cdot \rceil$ et $\lceil \cdot \rfloor$, dont justement l'un semble être appuyé par la référence de Wolfram et l'autre par la référence du stackexchange.).

Merci en tout cas, je rajoute la référence Wolfram. (d'ailleurs dans de tels cas, même si je n'ai pas accès à la source citée par Wolfram, est-il préférable de citer Wolfram ou la source que cite Wolfram ? Ou cette histoire de pyramide de source / source primaire-secondaire ?) Curios7ty (discuter) 24 avril 2022 à 09:55 (CEST)

Pas si vite ! Pour un demi-entier, alors que

• nous arrondissons à l'entier le plus proche le plus loin de 0,
• Wolfram arrondit à l'entier pair le plus proche et
• Flajolet and Sedgewick p. 43 et 260 à l'entier supérieur le plus proche.

Yang & al., Efficient and Secure Outsourced Linear Regression, p. 93 ne précisent pas.

Dahab & al. p. 284 non plus.

Graham Knuth Patashnik (p. 95, 195, 300, 344, 491) n'introduisent aucune notation.

Je n'ai pas accès à Hastad & al. (l'1 des 3 refs de Wolfram, avec la précédente et la suivante).

Spanier & al. p. 73 font comme Flajolet and Sedgewick mais avec plein de notations (Round, ⟨x⟩, [x], nint(x)) sauf celle que nous voulons sourcer.

Bref : pour l'instant, nous n'avons toujours aucune source pour noter $\left\lfloor x\right\rceil$ notre façon d'arrondir les demi-entiers.

Anne, 10 h 42

P.S.1 : parmi les refs ci-dessus, les deux qui ne sont pas des livres mais des articles (Yang et al. et Dahab et al.) introduisent leurs notations au début.

P.S.2 : à mon avis une source secondaire de qualité suffirait, mais (de mon expérience) Wolfram n'en est pas une car pas fiable.

Il me semble que Curios7ty se posait la question de l'existence de cette notation. Sur ce point, on peut le rassurer.

Le problème que tu soulèves, Anne, est autre. C'est celui de la définition de l'arrondi en cas d’ambiguïté. Notre article annonce sereinement que l'on choisit alors systématiquement le nombre le plus éloigné de 0, afin d'assurer la parité de la fonction. Et pour cela il n'y a pas de source. J'en ai cherché mais cette notion, quand elle est définie dans les source francophones, ne l'est que pour les nombres positifs. je n'ai pas trouvé de source définissant l'arrondi pour les nombres négatifs en gérant l'ambiguïté. Et les sources anglophones que tu apportes montrent que la gestion de l'ambiguïté n'est pas aussi universelle que cela. Je pense que c'est ce point qui devrait être signalé dans l'article (et dans celui Arrondi (mathématiques) qui souffre du même défaut) en évitant les affirmations péremptoires du style «c'est ça la convention» (ou alors la blinder par des sources irréfutables). HB (discuter) 25 avril 2022 à 09:17 (CEST)

Partie entière possède deux sens

La partie entière possède deux sens. D'abord, lorsqu'il est question de l'enseignement de la notation décimale d'un nombre, on dira qu'un tel nombre est composé de deux parties, soit une partie entière et une partie décimale. Le mot partie prend ici le sens de morceau, section ou portion. Une étude des manuels scolaires québécois révèle d'ailleurs que, probablement pour des raisons pédagogiques et de simplicité du langage utilisé, ce sont les termes partie entière et partie décimale qui sont privilégiés à troncature.

Ensuite, pour ce qui est de la fonction en escalier, on entend par partie entière, implicitement, la partie entière inférieure d'un nombre. Effectivement, il pourrait aussi être question de partie entière supérieure d'un nombre. Mohamed Ag88 (discuter) 24 mars 2023 à 13:27 (CET)

C'est bien pour ça qu'on parle de partie entière « par défaut » et « par excès ». Aucune ambigüité, donc. Kelam (discuter) 24 mars 2023 à 13:41 (CET)

Selon ce site : https://lexique.netmath.ca/partie-entiere-dun-nombre-reel/

la partie entière est la composante d’un nombre réel situé à gauche de la virgule de cadrage. Et selon ce site : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./p/partieentiere.html

la partie entière de x est le plus grand entier n qui est inférieur ou égal à x. Donc il y a ambiguïté lorsque le nombre est négatif et on cherche sa partie entière. Mohamed Ag88 (discuter) 16 avril 2024 à 00:31 (CEST)

La convention actuelle en mathématiques est "le plus grand entier n qui est inférieur ou égal à x" . L'intérêt est que la fonction x-> x - E(x) est périodique de période 1 sur R tout entier. Robert FERREOL (discuter) 16 avril 2024 à 08:05 (CEST)