Statistique de Fermi-Dirac

En mécanique quantique et en physique statistique, la statistique de Fermi-Dirac désigne la distribution statistique de fermions indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre thermodynamique. La distribution en question tient à une particularité des fermions : les particules de spin demi-entier sont assujetties au principe d'exclusion de Pauli, à savoir que deux particules ne peuvent occuper simultanément un même état quantique.

Note historique : un problème de statistique

Avant l'avènement de la distribution de Fermi-Dirac dans les années 1920, notre compréhension du comportement des électrons dans les métaux était quelque peu rudimentaire. Ainsi on ne comprenait pas très bien pourquoi les électrons participent en grand nombre dans la conduction du courant électrique dans un métal et que ce nombre devenait extrêmement réduit quand il s'agit de contribuer à la capacité calorifique du même métal. Il y a manifestement ici un problème de statistique qui se pose dans l'évaluation de la capacité calorifique des métaux. L'explication fut apportée précisément par la distribution de Fermi-Dirac qui révéla que seuls les états situés près du niveau de Fermi, étaient sollicités pour la contribution à la capacité calorifique du métal.

Statistique de Fermi-Dirac

La statistique de Fermi-Dirac a été introduite en 1926 par Enrico Fermi et Paul Dirac. En 1927 elle fut appliquée aux électrons dans un métal par Arnold Sommerfeld. Statistiquement, le nombre n_i de particules dans l'état d'énergie E_i est donné par

$n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp({\frac {E_{i}-\mu }{k_{B}T}})+1}}\,$

où :

• g_i   est la dégénérescence de l'état d'énergie E_i , à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
• μ   est le potentiel chimique ;
• k_B   est la constante de Boltzmann ;
• T   est la température absolue.

Utilisation de cette distribution

Les distributions de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac sont utilisées lorsque les effets quantiques sont pris en compte, et lorsque les particules sont considérées comme indiscernables. Cela correspond à une concentration de particules (N/V) supérieure à une certaine densité d'état, c'est-à-dire que la distance intermoléculaire est inférieure à celle de la longueur d'onde thermique de de Broglie. Les fonctions d'onde peuvent « se toucher » mais pas se superposer.

• 
  Distribution de Fermi-Dirac en fonction de ε/μ et de différentes températures
• 
  Représentation de $<n(E)>$ pour les bosons (courbe du haut) et les fermions (cours du bas).

Limite classique et comparaison avec les bosons

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Fermi-Dirac tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann; il en est de même pour la statistique de Bose-Einstein qui régit les bosons. À basse température, si les particules occupent en priorité les niveaux d'énergie les plus faibles, les statistiques diffèrent cependant. Par exemple, à température nulle :

• avec la statistique de Fermi-Dirac, le niveau de plus basse énergie, E₀ , est occupé par au plus g₀ fermions; les états de basse énergie E_i sont ensuite occupés chacun dans l'ordre croissant des énergies par au plus g_i fermions jusqu'à épuisement de ces derniers;
• avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons (cas limite du condensat de Bose-Einstein).

Gaz de fermions quantiques

Les électrons dans les solides forment un gaz de fermions dont la description requiert la statistique de Fermi-Dirac. Récemment, le refroidissement de gaz d'atomes dilués fermioniques jusqu'à des températures de l'ordre du $\mu$K a permis d'obtenir des gaz de fermions dégénérés, uniquement descriptibles par cette statistique.

Effet de la température sur la distribution de Fermi-Dirac

En bas de page de ce cours, une application interactive animée, écrite en langage java, montre l'effet de la température T sur la distribution de Fermi-Dirac. On y voit notamment pourquoi seuls les états près du niveau de Fermi sont sollicités lors de la conduction.

Références

• Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], 1998 [détail des éditions]

Voir également

• Autres distributions statistiques en mécanique quantique
  • en mécanique quantique : statistique de Bose-Einstein
  • en mécanique classique : statistique de Maxwell-Boltzmann
• physique statistique
• physique quantique