« Polynômes orthogonaux multiples » : différence entre les versions
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Les '''polynômes orthogonaux multiples''' (POM) sont des [[polynômes orthogonaux]] dans une variable qui satisfait le [[Orthogonalité|critère d'orthogonalité]] par rapport à une famille finie de [[mesure (mathématiques)|mesures]] <math> \mu_1, \dots,\mu_r</math>. Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les ''polynômes orthogonaux multivariables''. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées ''type 1'' et ''type 2''. |
Les '''polynômes orthogonaux multiples''' (POM) sont des [[polynômes orthogonaux]] dans une variable qui satisfait le [[Orthogonalité|critère d'orthogonalité]] par rapport à une famille finie de [[mesure (mathématiques)|mesures]] <math> \mu_1, \dots,\mu_r</math>. Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les ''polynômes orthogonaux multivariables''. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées ''type 1'' et ''type 2''. |
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Dans la littérature, les polynômes orthogonaux multiples sont également appelés ''<math>d</math>-polynômes orthogonaux'', ''polynômes de [[Charles Hermite|Hermite]]-[[Henri Padé|Padé]]''<ref>{{article |lang=en |périodique=Journal of Approximation Theory |volume=292 |date=août 2023 |titre=Hermite–Padé approximation and integrability |auteur1=Adam Doliwa |auteur2=Artur Siemaszko |doi=10.1016/j.jat.2023.105910}}</ref> ou ''polynômes polyorthogonaux''<ref>{{Ouvrage|langue=en|titre=Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable|auteur1=Mourad E.H. Ismail|éditeur=Cambridge University Press|année=2005|isbn=9781107325982}}.</ref>. |
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Les polynômes de type 1 sont notés comme <math>A_{\vec{n},j}</math> pour <math>j=1,2,\dots,r</math> et écrits comme a vecteur <math>(A_{\vec{n},1},A_{\vec{n},2},\dots,A_{\vec{n},r})</math>, où le <math>j</math>ème polynôme <math>A_{\vec{n},j}</math> peut être au plus de degré <math>n_j-1</math>. De plus, ils doivent vérifier : |
Les polynômes de type 1 sont notés comme <math>A_{\vec{n},j}</math> pour <math>j=1,2,\dots,r</math> et écrits comme a vecteur <math>(A_{\vec{n},1},A_{\vec{n},2},\dots,A_{\vec{n},r})</math>, où le <math>j</math>ème polynôme <math>A_{\vec{n},j}</math> peut être au plus de degré <math>n_j-1</math>. De plus, ils doivent vérifier : |
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:<math>\sum_{j=1}^r\int_{\R}x^kA_{\vec{n},j}d\mu_j(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots,|\vec{n}|-2,</math> |
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On a donc un système d'équations <math>|\vec{n}|</math> pour les <math>|\vec{n}|</math> coefficients des polynômes <math>A_{\vec{n } ,1},A_{\vec{n},2},\dots,A_{\vec{n},r}</math> défini. |
On a donc un système d'équations <math>|\vec{n}|</math> pour les <math>|\vec{n}|</math> coefficients des polynômes <math>A_{\vec{n } ,1},A_{\vec{n},2},\dots,A_{\vec{n},r}</math> défini. |
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Dernière version du 17 mai 2024 à 13:48
Les polynômes orthogonaux multiples (POM) sont des polynômes orthogonaux dans une variable qui satisfait le critère d'orthogonalité par rapport à une famille finie de mesures . Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les polynômes orthogonaux multivariables. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées type 1 et type 2.
Dans la littérature, les polynômes orthogonaux multiples sont également appelés -polynômes orthogonaux, polynômes de Hermite-Padé[1] ou polynômes polyorthogonaux[2].
Polynômes orthogonaux multiples[modifier | modifier le code]
Soit un multi-indice et sont measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, .
POM de type 1[modifier | modifier le code]
Les polynômes de type 1 sont notés comme pour et écrits comme a vecteur , où le ème polynôme peut être au plus de degré . De plus, ils doivent vérifier :
et
On a donc un système d'équations pour les coefficients des polynômes défini.
POM de type 2[modifier | modifier le code]
Un polynôme est de type 2 s'il est monique et de degré et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :
Remarques[modifier | modifier le code]
Si on écrit toutes les équations , on obtient la définition suivante du POM de type 2
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, (ISBN 9781107325982), chap. 23.
- (en) Andrei Martinez-Finkelshtein et Walter Van Assche, WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial, vol. 63, , p. 1029-1031.
- (en) Walter Van Assche et Els Coussement, Some classical multiple orthogonal polynomials, vol. 127, Elsevier, (DOI 10.1016/s0377-0427(00)00503-3), chap. 1-2, p. 317-347.
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Adam Doliwa et Artur Siemaszko, « Hermite–Padé approximation and integrability », Journal of Approximation Theory, vol. 292, (DOI 10.1016/j.jat.2023.105910)
- (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, (ISBN 9781107325982).