[[File:ALGInequalityWithoutWords.svg|thumb|Illustration de l'inégalité arithmético-logarithmo-géométrique : <math>\sqrt{ab} \leqslant M_\text{ln}(a,b) \leqslant \frac{a+b}2</math>]]
La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur [[moyenne arithmétique]] et à leur [[moyenne généralisée|moyenne d'ordre 1/2]], mais supérieure ou égale à leur [[moyenne géométrique]] et à leur [[moyenne harmonique]] ; plus précisément :
La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur [[moyenne arithmétique]] et à leur [[moyenne généralisée|moyenne d'ordre 1/2]], mais supérieure ou égale à leur [[moyenne géométrique]] et à leur [[moyenne harmonique]] ; plus précisément :
Pour deux réels strictement positifs, elle est égale à leur différence, divisée par le logarithme de leur quotient. Cette moyenne est utilisée lors de problèmes d'ingénierie concernant le transfert de chaleur et de masse.
La moyenne logarithmique est bien une moyenne, car comprise entre a et b (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier[1]»). Elle est de plus homogène : .
Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec de la moyenne d'ordre et les deux inégalités centrales de la croissance avec de la moyenne de Stolarsky.
Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit.
Pour , on pose ; les inégalités s'écrivent alors .
En remplaçant par , la première inégalité s'écrit , inégalité classique.
La deuxième s'écrit aussi ; en remplaçant par , elle s'écrit , inégalité également classique.
La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour f = exp sur [ln(a) , ln(b)].
On peut généraliser la moyenne logarithmique à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n faisant intervenir les différences divisées d'ordre n du logarithme.
L'interprétation intégrale peut aussi être généralisée à plusieurs variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe où et une mesure appropriée qui assigne au simplexe un volume égal à 1, on obtient
Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour
↑(en) B. C. Carlson, « Some inequalities for hypergeometric functions », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 17, , p. 32–39 (DOI10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6)
↑(en) B. Ostle et H. L. Terwilliger, « A comparison of two means », Proc. Montana Acad. Sci., vol. 17, , p. 69–70
↑(en) Tung-Po Lin, « The Power Mean and the Logarithmic Mean », The American Mathematical Monthly, vol. 81, (DOI10.1080/00029890.1974.11993684)
↑(en) Billie C. Carlson, « The Logarithmic Mean », The American Mathematical Monthly, vol. 79, no 6, , p. 615– (DOI10.2307/2317088)