Polynôme de Jacobi

En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),$

où $(\alpha +1)_{n}\,$ est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},$

pour laquelle la valeur finale est

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.$

Ici, pour l'entier $n\,$

${z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},$

et $\Gamma (z)\,$ est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété $1/\Gamma (n+1)=0\,$ pour $n=-1,-2,\dots \,$. Ainsi,

${z \choose n}=0\quad {\hbox{pour}}\quad n<0.$

Les polynômes ont la relation de symétrie $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)$ ; ainsi, l'autre valeur finale est

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$

Pour un nombre réel $x$, le polynôme de Jacobi peut aussi être écrit sous la forme

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}$

où $s\geq 0\,$ et $n-s\geq 0\,$.

Dans le cas particulier où les quatre quantités $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$ et $n+\alpha +\beta$ sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.$

La somme sur $s\,$ s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner $d_{m'm}^{j}(\phi )\;$ ($0\leq \phi \leq 4\pi$) en termes de polynômes de Jacobi

$d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).$

Dérivées

La $k$-ème dérivée de l'expression explicite conduit à

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).$

Article connexe

• Polynôme de Gegenbauer
• Inégalité d'Askey-Gasper

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Jacobi Polynomial », sur MathWorld
• (en) T. H. Koornwinder, R. Wong, R. Koekoek et R. F. Swarttouw, « Orthogonal Polynomials », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)