Axiome du choix

L'axiome du choix est un axiome de la théorie des ensembles.

Énoncé

« Etant donnée une famille d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

( Ce qui se traduit formellement par : Pour tout ensemble C inclus dans P(E) ( P(E) étant l'ensemble des parties d'un ensemble E ), il existe une fonction $f:C\to E$ telle que : $\forall X\in C,f(X)\in X$ )

Il existe d'autres formulations, dont les suivantes :

Le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide
Théorème de Zermelo : Tout ensemble est bien ordonnable (peut être muni d'une structure de bon ordre)
Lemme de Zorn : Tout ensemble inductif admet un élément maximal

Particularités

Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. En effet, l'existence d'un objet défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence constructive, c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment construire l'objet dont on affirme l'existence. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel des fonctions continues ne permet en aucune façon de dire comment décrire une telle base. De ce point de vue, l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

L'axiome du choix est indépendant de la théorie ZF (le jeu d'axiomes non controversés de la théorie des ensembles). On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix.

Anecdote

Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général (algorithme) qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite. On dispose ainsi d'un algorithme simple.

Il semble cependant qu'il faille tempérer le pessimisme de Russell : http://math.dartmouth.edu/~doyle/docs/three/three.pdf

Exemples de construction d'ensembles où l'axiome du choix est nécessaire

Soit R une relation d'équivalence définie par : $\forall x,y\in \mathbb {R} ,xRy\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q}$ . On définit l'ensemble S en prenant un et un seul élément de chaque classe d'équivalence. Pour ce faire, on est obligé d'utiliser l'axiome du choix car on ne connait pas de fonction qui retourne un et un seul élément de chaque classe d'équivalence, donc on ne peut qu'affirmer l'existence de cet ensemble car on est incapable de le construire en pratique. Pour des exemples concrets, voir Ensemble non mesurable.

L'ensemble externe $*R$ des hyperréels doit son existence à l'axiome de choix

Formes faibles de l'axiome de choix

Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir à moins d'être logicien ou « constructiviste », et qui servent à « construire » des suites. Ils sont absolument indispensables pour l'exposé usuel des fondements de l'analyse.

Axiome du choix dénombrable

Cet axiome, abrégé en « AD », est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables :

« Etant donnée une famille dénombrable d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(x_n) tend vers f(0) pour toute suite (x_n) tendant vers 0. Il permet aussi de démontrer qu'un produit dénombrable d'espaces compacts est compact, ou encore le théorème de Hahn-Banach pour un espace de Banach séparable.

Axiome du choix dépendant

Cet axiome, abrégé en « DC », assure que, si R est une relation sur un ensemble non vide E vérifiant

$\forall x\in E\ \exists y\in E\ xRy$ ,

il existe une suite (x_n) d'éléments de E telle que

$\forall n\ x_{n}Rx_{n+1}$ .

L'axiome DC implique l'axiome AD, sans que cela soit évident. Il est par exemple utilisé dans axiome de fondation et plus généralement relation bien fondée pour établir l'équivalence de deux définitions.

Voir aussi

Pour plus de détails : Théorie axiomatique des ensembles.

Résultats liés à l'axiome du choix :

Une étrange conséquence de l'axiome du choix : Le Paradoxe de Banach-Tarski