Force d'inertie

Une force d'inertie, ou inertielle, ou force fictive, est une force apparente, ou pseudo-force, qui agit sur les masses lorsqu'elles sont observées à partir d'un référentiel non inertiel, autrement dit depuis un point de vue en mouvement accéléré (en translation ou en rotation). Une telle force n'est pas le résultat d'une interaction physique, mais plutôt de l'inertie s'opposant à l'accélération du référentiel lui-même.

Les forces d'inertie se décomposent généralement en deux composantes : la force d'inertie d'entraînement et la force d'inertie de Coriolis.

Exposé

La mécanique classique fait intervenir les lois de Newton, et celles-ci ne sont valables que dans un référentiel galiléen.

Si l'on se place dans un référentiel non inertiel ayant un mouvement accéléré (en translation ou en rotation) par rapport à un référentiel galiléen, les lois de Newton ne peuvent plus s'écrire, sauf en ajoutant des forces fictives : les forces d'inertie.

Pour un observateur extérieur situé dans le référentiel galiléen, il n'y a pas de force d'inertie. Il n'y a qu'un effet de l'inertie, c'est-à-dire que les phénomènes observés proviennent du fait qu'il faut fournir un effort pour modifier le mouvement initial d'un objet (« tout corps jeté dans l'espace tend à reproduire son mouvement à l'infini »).

Par exemple, une personne est dans une voiture, et cette voiture démarre brusquement. Deux points de vue :

• Pour la personne à l'intérieur de la voiture, une force la plaque contre le dossier, elle subit une force d'inertie.
• Pour un observateur extérieur à la voiture, il voit un effet de l'inertie (et non une force) :
  • lorsque la voiture démarre, la personne assise est immobile et est donc « rattrapée » par son dossier
  • la pression exercée par le dossier sur la personne va l'accélérer jusqu'à ce qu'elle se déplace à la même vitesse que la voiture

Expressions

Soit (R) un référentiel galiléen centré en 0, et (R') un référentiel non galiléen centré en A, dont la rotation (instantanée) autour de (R) est donnée par le vecteur ${\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}$. Soit un point M mobile de masse m subissant des forces de résultante ${\vec {\mathrm {F} }}$. Soit ${\vec {v}}_{\mathrm {r} }={\vec {v}}(\mathrm {M} )_{(\mathrm {R'} )}$ la vitesse relative de M dans (R').

Alors, d'après la loi de composition des mouvements, en notant ${\vec {a}}_{\mathrm {a} }$ l'accélération absolue dans (R), ${\vec {a}}_{\mathrm {r} }$ l'accélération relative dans (R'), ${\vec {a}}_{\mathrm {e} }$ l'accélération d'entraînement et enfin ${\vec {a}}_{\mathrm {c} }$ l'accélération de Coriolis, on a :

${\vec {a}}_{\mathrm {a} }={\vec {a}}_{\mathrm {r} }+{\vec {a}}_{\mathrm {e} }+{\vec {a}}_{\mathrm {c} }$

Or, d'après le principe fondamental de la dynamique, on a : $m\ {\vec {a}}_{\mathrm {a} }={\vec {\mathrm {F} }}$

D'où, dans (R'): $m{\vec {a}}_{\mathrm {r} }={\vec {\mathrm {F} }}-m{\vec {a}}_{\mathrm {e} }-m{\vec {a}}_{\mathrm {c} }$

En définissant les forces d'inertie ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }=-m{\vec {a}}_{\mathrm {e} }$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ic} }=-m{\vec {a}}_{\mathrm {c} }$, on peut alors écrire le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel (R') non galiléen :

$m{\vec {a}}_{\mathrm {r} }={\vec {\mathrm {F} }}+{\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }+{\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ic} }$

La force ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }$ est appelée force d'inertie d'entrainement, et son expression développée est :

${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }=-m{\vec {a}}_{\mathrm {e} }=-m\left[{\vec {a}}(\mathrm {A} )_{(\mathrm {R} )}+\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}}{\mathrm {d} t}}\right)_{(\mathrm {R} )}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}+{\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}\wedge ({\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {AM} }})\right]$

La force ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ic} }$ est appelée force d'inertie de Coriolis, et son expression développée est :

${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ic} }=-m{\vec {a}}_{\mathrm {c} }=-m2{\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}\wedge {\vec {v}}_{\mathrm {r} }$

Quelques cas d'application simples

Référentiel en accélération constante dans un référentiel galiléen

Supposons que (R') subisse une accélération constante ${\vec {a}}$ dans (R). (R') est donc animé d'un mouvement linéaire uniformément accéléré dans (R).

Dans (R), il faut ajouter la force d'inertie d'entrainement ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }$ qui vaut alors simplement : ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }=-m{\vec {a}}$

C'est ce qui se passe par exemple dans une voiture en ligne droite : la force d'inertie s'oppose à l'accélération de la voiture.

Référentiel en rotation uniforme

Dans un manège tournant à la vitesse angulaire $\Omega$, nous avons tendance à nous éloigner du centre de rotation noté A ; cela est dû à la force d'inertie d'entrainement qui vaut alors :

${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }=m\Omega ^{2}{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}$

Cette force est encore appelée force centrifuge (ou axifuge) car elle a tendance à éloigner un objet de l'axe de rotation.

Pourquoi le terme « force » est-il abusif ?

En mécanique newtonienne, un objet non accéléré dans un référentiel inertiel paraît accéléré dans un référentiel non inertiel local. Or les effets de l'accélération sur les masses sont strictement similaires à ceux engendrés par une force (principe fondamental de la dynamique). Aussi, l'observateur dans ce référentiel local attribue intuitivement, mais faussement, l'explication de cette accélération à une force appliqué sur l'objet observé.

Mais en mécanique classique, une force a aussi un sens plus strict. C'est la modélisation d'une interaction, c'est-à-dire de l'action d'un objet sur un autre. C'est le cas en particulier des interactions de contact (pression, frottement, interaction dans une liaison) ou à distance (force gravitationnelle, force électrostatique, force électromagnétique).

Or, les « forces d'inertie » ne résultent pas d'une action directe sur l'objet observé, mais sont les conséquences indirectes d'une action sur le référentiel local. Par exemple, dans le cas d'une voiture qui freine, deux points de vue sont possibles :

• pour un observateur situé sur le bas côté (référentiel supposé inertiel), la force de frottement exercée sur les pneus a pour conséquence une force de pression par la ceinture sur le passager, s'opposant à son inertie (première loi de newton).
• le passager, qui intuitivement et faussement pose son propre référentiel comme inertiel, a l'impression d'être poussé vers l'avant par une force fictive.

Dans cet exemple, on voit qu'une force de frottement vers l'arrière sur les pneus est interprété par le passager comme une « force d'inertie » fictive vers l'avant sur lui-même. Le terme « force » est dans ce cas abusif et peut prêter à confusion. Certains auteurs utilisent plutôt les termes d'accélération centrifuge, accélération inertielle et effet de Coriolis pour désigner les causes de ce que d'autres nomment respectivement force centrifuge, force inertielle et force de Coriolis.

Voir aussi

• Force de Coriolis
• Force centrifuge
• Référentiel non inertiel
• Composition des mouvements