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[[File:Combinations with repetition; 5 multichoose 3.svg|thumb|370px|[[Bijection]] entre les 3-sous-ensembles d'un ensemble de 7 éléments (à gauche)<br>et les 3-multisets avec des éléments provenant d'un ensemble de 5 éléments (à droite)<br>Cela illustre que <math display="inline"> {7 \choose 3} = \left(!!{5 \choose 3}!!\right).</math>]] {{Voir aussi|Stars and bars (combinatorics)}} Le nombre de multisets de cardinalité {{mvar|k}}, avec des éléments pris dans un ensemble fini de cardinalité {{mvar|n}}, est parfois appelé le '''coefficient de multiset''' ou le '''nombre de multiset'''. Ce nombre est écrit par certains auteurs comme <math>\textstyle\left(!!{n\choose k}!!\right)</math>, une notation qui est censée ressembler à celle des [[coefficient binomial|coefficients binomiaux]] ; elle est utilisée par exemple dans (Stanley, 1997), et pourrait être prononcée "{{mvar|n}} multi-choisir {{mvar|k}}" pour ressembler à "{{mvar|n}} choisir {{mvar|k}}" pour <math>\tbinom n k.</math> Tout comme la [[distribution binomiale]] qui implique des coefficients binomiaux, il existe une [[distribution binomiale négative]] dans laquelle les coefficients de multiset apparaissent. Les coefficients de multiset ne doivent pas être confondus avec les [[coefficient multinomial|coefficients multinomiaux]] non liés qui apparaissent dans le [[théorème multinomial]]. |
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La valeur des coefficients de multiset peut être donnée explicitement comme <math display="block">\left(!!{n\choose k}!!\right) = {n+k-1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k!,(n-1)!} = {n(n+1)(n+2)\cdots(n+k-1)\over k!},</math> où la deuxième expression est un coefficient binomial;{{efn|La formule {{math|({{BSsplit|''n''+''k'' −1|''k''|align=center}})}} ne fonctionne pas pour {{math|1=''n'' = 0}} (où nécessairement aussi {{math|1=''k'' = 0}}) si elle est vue comme un coefficient binomial ordinaire car elle évalue à {{math|({{BSsplit|−1|0|align=center}})}}, cependant la formule {{math|''n''(''n''+1)(''n''+2)...(''n''+''k'' −1)/''k''!}} fonctionne dans ce cas car le numérateur est un [[produit vide]] donnant {{math|1=1/0! = 1}}. Cependant {{math|({{BSsplit|''n''+''k'' −1|''k''|align=center}})}} a du sens pour {{math|1=''n'' = ''k'' = 0}} si interprété comme un [[Binomial coefficient#Binomial coefficients as polynomials|coefficient binomial généralisé]]; en effet {{math|({{BSsplit|''n''+''k'' −1|''k''|align=center}})}} vu comme un coefficient binomial généralisé équivaut au terme le plus à droite de l'équation ci-dessus.}} de nombreux auteurs évitent en fait une notation distincte et écrivent simplement des coefficients binomiaux. Ainsi, le nombre de tels multisets est le même que le nombre de sous-ensembles de cardinalité {{mvar|k}} d'un ensemble de cardinalité {{math|''n'' + ''k'' − 1}}. L'analogie avec les coefficients binomiaux peut être soulignée en écrivant le numérateur dans l'expression ci-dessus comme une [[puissance factorielle montante]] <math display="block">\left(!!{n \choose k}!!\right) = {n^{\overline{k}}\over k!},</math> pour correspondre à l'expression des coefficients binomiaux utilisant une puissance factorielle descendante : <math display="block">{n \choose k} = {n^{\underline{k}}\over k!}.</math> |
La valeur des coefficients de multiset peut être donnée explicitement comme <math display="block">\left(!!{n\choose k}!!\right) = {n+k-1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k!,(n-1)!} = {n(n+1)(n+2)\cdots(n+k-1)\over k!},</math> où la deuxième expression est un coefficient binomial;{{efn|La formule {{math|({{BSsplit|''n''+''k'' −1|''k''|align=center}})}} ne fonctionne pas pour {{math|1=''n'' = 0}} (où nécessairement aussi {{math|1=''k'' = 0}}) si elle est vue comme un coefficient binomial ordinaire car elle évalue à {{math|({{BSsplit|−1|0|align=center}})}}, cependant la formule {{math|''n''(''n''+1)(''n''+2)...(''n''+''k'' −1)/''k''!}} fonctionne dans ce cas car le numérateur est un [[produit vide]] donnant {{math|1=1/0! = 1}}. Cependant {{math|({{BSsplit|''n''+''k'' −1|''k''|align=center}})}} a du sens pour {{math|1=''n'' = ''k'' = 0}} si interprété comme un [[Binomial coefficient#Binomial coefficients as polynomials|coefficient binomial généralisé]]; en effet {{math|({{BSsplit|''n''+''k'' −1|''k''|align=center}})}} vu comme un coefficient binomial généralisé équivaut au terme le plus à droite de l'équation ci-dessus.}} de nombreux auteurs évitent en fait une notation distincte et écrivent simplement des coefficients binomiaux. Ainsi, le nombre de tels multisets est le même que le nombre de sous-ensembles de cardinalité {{mvar|k}} d'un ensemble de cardinalité {{math|''n'' + ''k'' − 1}}. L'analogie avec les coefficients binomiaux peut être soulignée en écrivant le numérateur dans l'expression ci-dessus comme une [[puissance factorielle montante]] <math display="block">\left(!!{n \choose k}!!\right) = {n^{\overline{k}}\over k!},</math> pour correspondre à l'expression des coefficients binomiaux utilisant une puissance factorielle descendante : <math display="block">{n \choose k} = {n^{\underline{k}}\over k!}.</math> |
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Par exemple, il y a 4 multisets de cardinalité 3 avec des éléments pris dans l'ensemble {{math|{{mset|1, 2}}}} de cardinalité 2 ({{math|1=''n'' = 2}}, {{math|1=''k'' = 3}}), à savoir {{math|{{mset|1, 1, 1}}}}, {{math|{{mset|1, 1, 2}}}}, {{math|{{mset|1, 2, 2}}}}, {{math|{{mset|2, 2, 2}}}}. Il y a aussi 4 ''sous-ensembles'' de cardinalité 3 dans l'ensemble {{math|{{mset|1, 2, 3, 4}}}} de cardinalité 4 ({{math|''n'' + ''k'' − 1}}), à savoir {{math|{{mset|1, 2, 3}}}}, {{math|{{mset|1, 2, 4}}}}, {{math|{{mset|1, 3, 4}}}}, {{math|{{mset|2, 3, 4}}}}. |
Par exemple, il y a 4 multisets de cardinalité 3 avec des éléments pris dans l'ensemble {{math|{{mset|1, 2}}}} de cardinalité 2 ({{math|1=''n'' = 2}}, {{math|1=''k'' = 3}}), à savoir {{math|{{mset|1, 1, 1}}}}, {{math|{{mset|1, 1, 2}}}}, {{math|{{mset|1, 2, 2}}}}, {{math|{{mset|2, 2, 2}}}}. Il y a aussi 4 ''sous-ensembles'' de cardinalité 3 dans l'ensemble {{math|{{mset|1, 2, 3, 4}}}} de cardinalité 4 ({{math|''n'' + ''k'' − 1}}), à savoir {{math|{{mset|1, 2, 3}}}}, {{math|{{mset|1, 2, 4}}}}, {{math|{{mset|1, 3, 4}}}}, {{math|{{mset|2, 3, 4}}}}. |
Version du 17 mai 2024 à 09:29
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En géométrie algébrique, la Veronese surface de Veronese is an algebraic surface in five-dimensional projective space, and is realized by the Veronese embedding, the embedding of the projective plane given by the complete linear system of conics. It is named after Giuseppe Veronese (1854–1917). Its generalization to higher dimension is known as the Veronese variety.
The surface admits an embedding in the four-dimensional projective space defined by the projection from a general point in the five-dimensional space. Its general projection to three-dimensional projective space is called a Steiner surface.
Definition
The Veronese surface is the image of the mapping
given by
where denotes homogeneous coordinates. The map is known as the Veronese embedding.
Motivation
La surface de Veronese intervient naturellement dans l’étude des coniques projectives, courbes planes de degré 2 définies par une équation de la forme :
L’association entre coefficients et variables est linéaire pour les coefficients et quadratique pour les variables ; l’application de Veronese la rend linéaire par rapport aux monômes monomials. Thus for a fixed point the condition that a conic contains the point is a linear equation in the coefficients, which formalizes the et statement that "passing through a point imposes a linear condition on conics".
Application de Veronese
L'application de Veronese (définissant la variété de Veronese) généralise cette idée aux applications de degré général d en n+1 variables. C'est-à-dire, l'application de Veronese de degré d est l'application
avec m donné par le coefficient de multiset, ou plus familièrement le coefficient binomial, comme :
L'application envoie à tous les monômes possibles de degré total d (dont il y en a ); nous avons car il y a variables à choisir ; et nous soustrayons car l'espace projectif a coordonnées. La deuxième égalité montre que pour une dimension source fixe n, la dimension cible est un polynôme en d de degré n et coefficient principal Pour un faible degré, est l'application constante triviale vers et est l'application identité sur donc d est généralement pris pour être 2 ou plus. On peut définir l'application de Veronese de manière indépendante des coordonnées, comme
où V est un espace vectoriel de dimension finie, et sont ses puissances symétriques de degré d. C'est homogène de degré d sous la multiplication scalaire sur V, et passe donc à une application sur les espaces projectifs sous-jacents. Si l'espace vectoriel V est défini sur un corps K qui n'a pas de caractéristique zéro, alors la définition doit être modifiée pour être comprise comme une application vers l'espace dual des polynômes sur V. En effet, pour les corps avec une caractéristique finie p, les p-ièmes puissances des éléments de V ne sont pas des courbes rationnelles normales, mais sont bien sûr une ligne. (Voir, par exemple, polynôme additif pour un traitement des polynômes sur un corps de caractéristique finie).
=== Courbe rationnelle normale ===
Pour la variété de Veronese est connue sous le nom de courbe rationnelle normale, dont les exemples de bas degré sont familiers. Pour l'application de Veronese est simplement l'application identité sur la droite projective. Pour la variété de Veronese est la parabole standard en coordonnées affines Pour la variété de Veronese est la cubique tordue, en coordonnées affines ==Birégulier== L'image d'une variété sous l'application de Veronese est à nouveau une variété, plutôt qu'un simple ensemble constructible; de plus, celles-ci sont isomorphes dans le sens où l'application inverse existe et est régulière – l'application de Veronese est birégulière. Plus précisément, les images des ensembles ouverts dans la topologie de Zariski sont de nouveau ouvertes.
Voir aussi
La surface de Veronese est la seule variété de Severi de dimension 2.
Références
Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer-Verlag, New York. (ISBN 0-387-97716-3)
Veronese map
The Veronese map or Veronese variety generalizes this idea to mappings of general degree d in n+1 variables. That is, the Veronese map of degree d is the map
with m given by the multiset coefficient, or more familiarly the binomial coefficient, as:
The map sends to all possible monomials of total degree d (of which there are ); we have since there are variables to choose from; and we subtract since the projective space has coordinates. The second equality shows that for fixed source dimension n, the target dimension is a polynomial in d of degree n and leading coefficient
For low degree, is the trivial constant map to and is the identity map on so d is generally taken to be 2 or more.
One may define the Veronese map in a coordinate-free way, as
where V is any vector space of finite dimension, and are its symmetric powers of degree d. This is homogeneous of degree d under scalar multiplication on V, and therefore passes to a mapping on the underlying projective spaces.
If the vector space V is defined over a field K which does not have characteristic zero, then the definition must be altered to be understood as a mapping to the dual space of polynomials on V. This is because for fields with finite characteristic p, the pth powers of elements of V are not rational normal curves, but are of course a line. (See, for example additive polynomial for a treatment of polynomials over a field of finite characteristic).
Rational normal curve
For the Veronese variety is known as the rational normal curve, of which the lower-degree examples are familiar.
- For the Veronese map is simply the identity map on the projective line.
- For the Veronese variety is the standard parabola in affine coordinates
- For the Veronese variety is the twisted cubic, in affine coordinates
Biregular
The image of a variety under the Veronese map is again a variety, rather than simply a constructible set; furthermore, these are isomorphic in the sense that the inverse map exists and is regular – the Veronese map is biregular. More precisely, the images of open sets in the Zariski topology are again open.
See also
- The Veronese surface is the only Severi variety of dimension 2
References
- Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer-Verlag, New York. (ISBN 0-387-97716-3)
Dénombrement des multisets
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Combinations_with_repetition%3B_5_multichoose_3.svg/370px-Combinations_with_repetition%3B_5_multichoose_3.svg.png)
et les 3-multisets avec des éléments provenant d'un ensemble de 5 éléments (à droite)
Cela illustre que
Le nombre de multisets de cardinalité k, avec des éléments pris dans un ensemble fini de cardinalité n, est parfois appelé le coefficient de multiset ou le nombre de multiset. Ce nombre est écrit par certains auteurs comme , une notation qui est censée ressembler à celle des coefficients binomiaux ; elle est utilisée par exemple dans (Stanley, 1997), et pourrait être prononcée "n multi-choisir k" pour ressembler à "n choisir k" pour Tout comme la distribution binomiale qui implique des coefficients binomiaux, il existe une distribution binomiale négative dans laquelle les coefficients de multiset apparaissent. Les coefficients de multiset ne doivent pas être confondus avec les coefficients multinomiaux non liés qui apparaissent dans le théorème multinomial.
La valeur des coefficients de multiset peut être donnée explicitement comme
- Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet | Modèle:Bullet Modèle:Bullet | Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet | Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet Modèle:Bullet
Ceci est un multiset de cardinalité k = 18 composé d'éléments d'un ensemble de cardinalité n = 4. Le nombre de caractères incluant à la fois des points et des lignes verticales utilisés dans cette notation est 18 + 4 − 1. Le nombre de lignes verticales est 4 − 1. Le nombre de multisets de cardinalité 18 est alors le nombre de façons d'arranger les 4 − 1 lignes verticales parmi les 18 + 4 − 1 caractères, et est donc le nombre de sous-ensembles de cardinalité 4 − 1 d'un ensemble de cardinalité 18 + 4 − 1. Équivalemment, c'est le nombre de façons d'arranger les 18 points parmi les 18 + 4 − 1 caractères, ce qui est le nombre de sous-ensembles de cardinalité 18 d'un ensemble de cardinalité 18 + 4 − 1. C'est
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