Utilisateur:Dfeldmann/brouillon5

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En géométrie algébrique, la Veronese surface de Veronese is an algebraic surface in five-dimensional projective space, and is realized by the Veronese embedding, the embedding of the projective plane given by the complete linear system of conics. It is named after Giuseppe Veronese (1854–1917). Its generalization to higher dimension is known as the Veronese variety.

The surface admits an embedding in the four-dimensional projective space defined by the projection from a general point in the five-dimensional space. Its general projection to three-dimensional projective space is called a Steiner surface.

Definition

The Veronese surface is the image of the mapping

$\nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}$

given by

$\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]$

where $[x:\cdots ]$ denotes homogeneous coordinates. The map $\nu$ is known as the Veronese embedding.

Motivation

La surface de Veronese intervient naturellement dans l’étude des coniques projectives, courbes planes de degré 2 définies par une équation de la forme :

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.$

L’association entre coefficients $(A,B,C,D,E,F)$ et variables $(x,y,z)$ est linéaire pour les coefficients et quadratique pour les variables ; l’application de Veronese la rend linéaire par rapport aux monômes monomials. Thus for a fixed point $[x:y:z],$ the condition that a conic contains the point is a linear equation in the coefficients, which formalizes the et statement that "passing through a point imposes a linear condition on conics".

Application de Veronese

Lapplication de Veronese ou la variété de Veronese généralise cette idée aux applications de degré général d en n+1 variables. C'est-à-dire, l'application de Veronese de degré d est l'application

$\nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}$

avec m donné par le coefficient de multiset, ou plus familièrement le coefficient binomial, comme :

$m=\left(!!{n+1 \choose d}!!\right)-1={n+d \choose d}-1.$

L'application envoie $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ à tous les monômes possibles de degré total d (dont il y en a $m+1$); nous avons $n+1$ car il y a $n+1$ variables $x_{0},\ldots ,x_{n}$ à choisir ; et nous soustrayons $1$ car l'espace projectif $\mathbb {P} ^{m}$ a $m+1$ coordonnées. La deuxième égalité montre que pour une dimension source fixe n, la dimension cible est un polynôme en d de degré n et coefficient principal $1/n!.$ Pour un faible degré, $d=0$ est l'application constante triviale vers $\mathbf {P} ^{0},$ et $d=1$ est l'application identité sur $\mathbf {P} ^{n},$ donc d est généralement pris pour être 2 ou plus. On peut définir l'application de Veronese de manière indépendante des coordonnées, comme

$\nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}$

où V est un espace vectoriel de dimension finie, et ${\rm {{Sym}^{d}V}}$ sont ses puissances symétriques de degré d. C'est homogène de degré d sous la multiplication scalaire sur V, et passe donc à une application sur les espaces projectifs sous-jacents. Si l'espace vectoriel V est défini sur un corps K qui n'a pas de caractéristique zéro, alors la définition doit être modifiée pour être comprise comme une application vers l'espace dual des polynômes sur V. En effet, pour les corps avec une caractéristique finie p, les p-ièmes puissances des éléments de V ne sont pas des courbes rationnelles normales, mais sont bien sûr une ligne. (Voir, par exemple, polynôme additif pour un traitement des polynômes sur un corps de caractéristique finie).

=== Courbe rationnelle normale ===

Pour $n=1,$ la variété de Veronese est connue sous le nom de courbe rationnelle normale, dont les exemples de bas degré sont familiers. Pour $n=1,d=1$ l'application de Veronese est simplement l'application identité sur la droite projective. Pour $n=1,d=2,$ la variété de Veronese est la parabole standard $[x^{2}:xy:y^{2}],$ en coordonnées affines $(x,x^{2}).$ Pour $n=1,d=3,$ la variété de Veronese est la cubique tordue, $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ en coordonnées affines $(x,x^{2},x^{3}).$ ==Birégulier== L'image d'une variété sous l'application de Veronese est à nouveau une variété, plutôt qu'un simple ensemble constructible; de plus, celles-ci sont isomorphes dans le sens où l'application inverse existe et est régulière – l'application de Veronese est birégulière. Plus précisément, les images des ensembles ouverts dans la topologie de Zariski sont de nouveau ouvertes.

Voir aussi

La surface de Veronese est la seule variété de Severi de dimension 2.

Références

Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer-Verlag, New York. (ISBN 0-387-97716-3)

Veronese map

The Veronese map or Veronese variety generalizes this idea to mappings of general degree d in n+1 variables. That is, the Veronese map of degree d is the map

$\nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}$

with m given by the multiset coefficient, or more familiarly the binomial coefficient, as:

$m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.$

The map sends $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ to all possible monomials of total degree d (of which there are $m+1$); we have $n+1$ since there are $n+1$ variables $x_{0},\ldots ,x_{n}$ to choose from; and we subtract $1$ since the projective space $\mathbb {P} ^{m}$ has $m+1$ coordinates. The second equality shows that for fixed source dimension n, the target dimension is a polynomial in d of degree n and leading coefficient $1/n!.$

For low degree, $d=0$ is the trivial constant map to $\mathbf {P} ^{0},$ and $d=1$ is the identity map on $\mathbf {P} ^{n},$ so d is generally taken to be 2 or more.

One may define the Veronese map in a coordinate-free way, as

$\nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}$

where V is any vector space of finite dimension, and ${\rm {{Sym}^{d}V}}$ are its symmetric powers of degree d. This is homogeneous of degree d under scalar multiplication on V, and therefore passes to a mapping on the underlying projective spaces.

If the vector space V is defined over a field K which does not have characteristic zero, then the definition must be altered to be understood as a mapping to the dual space of polynomials on V. This is because for fields with finite characteristic p, the pth powers of elements of V are not rational normal curves, but are of course a line. (See, for example additive polynomial for a treatment of polynomials over a field of finite characteristic).

Rational normal curve

For $n=1,$ the Veronese variety is known as the rational normal curve, of which the lower-degree examples are familiar.

• For $n=1,d=1$ the Veronese map is simply the identity map on the projective line.
• For $n=1,d=2,$ the Veronese variety is the standard parabola $[x^{2}:xy:y^{2}],$ in affine coordinates $(x,x^{2}).$
• For $n=1,d=3,$ the Veronese variety is the twisted cubic, $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ in affine coordinates $(x,x^{2},x^{3}).$

Biregular

The image of a variety under the Veronese map is again a variety, rather than simply a constructible set; furthermore, these are isomorphic in the sense that the inverse map exists and is regular – the Veronese map is biregular. More precisely, the images of open sets in the Zariski topology are again open.

See also

• The Veronese surface is the only Severi variety of dimension 2

References

• Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer-Verlag, New York. (ISBN 0-387-97716-3)