« Surface romaine » : différence entre les versions
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La '''surface romaine''' (ainsi appelée parce que [[Jakob Steiner]] était à [[Rome]] quand il l'a conçue) est une application auto-intersectante du [[plan projectif réel]] dans l'espace à trois dimensions, avec un haut degré de [[symétrie]]. Cette application est [[Propriété locale|localement]] un [[Plongement#Espaces topologiques|plongement topologique]], mais n'est ''pas'' une [[immersion (mathématiques)|immersion (au sens différentiel)]] du [[plan projectif]] ; ''cependant'' elle en devient une lorsqu'on enlève de l'image six points singuliers<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jeffrey M.|nom1=Lee|titre=Manifolds and Differential Geometry|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2009|passage=141|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=QqHdHy9WsEoC&pg=PA141}}.</ref>. |
La '''surface romaine''' ou '''surface de Steiner''' (ainsi appelée parce que [[Jakob Steiner]] était à [[Rome]] quand il l'a conçue) est une application auto-intersectante du [[plan projectif réel]] dans l'espace à trois dimensions, avec un haut degré de [[symétrie]]. Cette application est [[Propriété locale|localement]] un [[Plongement#Espaces topologiques|plongement topologique]], mais n'est ''pas'' une [[immersion (mathématiques)|immersion (au sens différentiel)]] du [[plan projectif]] ; ''cependant'' elle en devient une lorsqu'on enlève de l'image six points singuliers<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jeffrey M.|nom1=Lee|titre=Manifolds and Differential Geometry|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2009|passage=141|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=QqHdHy9WsEoC&pg=PA141}}.</ref>. |
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Elle s'obtient en prenant l'image de la [[sphère]] de rayon unité centrée à l'origine par l'application |
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L'origine est un point triple et chacun des plans ''xy'', ''yz'', et ''xz'' est [[Plan tangent|tangent]] à la surface. Les autres points d'auto-intersection sont des points doubles, définissant le long des trois axes des segments dont les extrémités sont {{refsou|des {{Lien|trad=Pinch point (mathematics)|Point cuspidal|texte=points cuspidaux}} }}. Cette surface possède la symétrie du [[tétraèdre]]. C'est un type particulier (le type 1) de surface de Steiner, qui est une [[projection]] linéaire sur <math>\mathbf{R}^3</math> d'une [[surface de |
L'origine est un point triple et chacun des plans ''xy'', ''yz'', et ''xz'' est [[Plan tangent|tangent]] à la surface. Les autres points d'auto-intersection sont des points doubles, définissant le long des trois axes des segments dont les extrémités sont {{refsou|des {{Lien|trad=Pinch point (mathematics)|Point cuspidal|texte=points cuspidaux}} }}. Cette surface possède la symétrie du [[tétraèdre]]. C'est un type particulier (le type 1) de surface de Steiner, qui est une [[projection]] linéaire sur <math>\mathbf{R}^3</math> d'une [[surface de Veronese]] |
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Dernière version du 16 mai 2024 à 09:18
La surface romaine ou surface de Steiner (ainsi appelée parce que Jakob Steiner était à Rome quand il l'a conçue) est une application auto-intersectante du plan projectif réel dans l'espace à trois dimensions, avec un haut degré de symétrie. Cette application est localement un plongement topologique, mais n'est pas une immersion (au sens différentiel) du plan projectif ; cependant elle en devient une lorsqu'on enlève de l'image six points singuliers[1].
Elle s'obtient en prenant l'image de la sphère de rayon unité centrée à l'origine par l'application
Comme , passe au quotient et définit une application du plan projectif réel dans .
La surface romaine apparaît ainsi comme la surface de d'équation implicite
privée des points des 3 axes de coordonnées dont la distance à l'origine est supérieure à 1/2. Chacune de ces présentations permet de voir qu'elle est invariante par permutation des coordonnées, et donc qu'elle possède les symétries d'un tétraèdre régulier.
En partant d'une paramétrisation de la sphère en termes de longitude (θ) et latitude (φ), on obtient les équations paramétriques suivantes de la surface romaine :
- x = cos θ cos φ sin φ
- y = sin θ cos φ sin φ
- z = cos θ sin θ cos2 φ
L'origine est un point triple et chacun des plans xy, yz, et xz est tangent à la surface. Les autres points d'auto-intersection sont des points doubles, définissant le long des trois axes des segments dont les extrémités sont des points cuspidaux (en)[réf. souhaitée]. Cette surface possède la symétrie du tétraèdre. C'est un type particulier (le type 1) de surface de Steiner, qui est une projection linéaire sur d'une surface de Veronese dans
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Liens internes[modifier | modifier le code]
Liens externes[modifier | modifier le code]
- Surface romaine, sur MathCurve.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) Jeffrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, AMS, (lire en ligne), p. 141.
