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En géométrie, les droites centrales sont des droites spéciales lié à un triangle plan. Ces droites sont directement liées à un des centres du triangle, qui sert de base pour exprimer l'équation de la droite en coordonnées trilinéaires. Le concept de droite centrale a été introduit par Clark Kimberling dans un article de 1994^[1]^,^[2]

Définition

Soit $ABC$ un triangle du plan et $(x : y : z)$ les coordonnées trilinéaires d'un point arbitraire dans le même plan que le triangle $ABC$ .

Une droite dans le plan du triangle $ABC$ dont l'équation en coordonnées trilinéaires est de la forme

f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0

où le point de coordonnées trilinéaires $(f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c))$ est un centre du triangle, est une droite centrale dans le plan du triangle $ABC$ relativement au triangle $ABC$ ^[2]^,^[3]^,^[4].

Droites centrales comme polaires trilinéaires

La relation géométrique entre une droite centrale et son centre du triangle associé peut être exprimée avec les concepts de polaires trilinéaires et les conjugués isogonaux.

Soit $X = (u (a, b, c) : v (a, b, c) : w (a, b, c))$ un centre du triangle. La droite dont l'équation est

{\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0

est la polaire trilinéaire de $X$ ^[2]^,^[5]. De plus, le point $Y = (1 / u (a, b, c) : 1 / v (a, b, c) : 1 / w (a, b, c))$ est le conjugué isogonal de $X$ .

Ainsi, la droite centrale donnée par l'équation

f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0

est la polaire trilinéaire du conjugué isogonal du centre du triangle défini par les coordonnées trilinéaires $(f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c) )$ .

Construction de droites centrales

Soit $X$ un centre du triangle $ABC$ . On trace les droites $AX$ , $BX$ et $CX$ , ainsi que leurs images respectives par symétrie avec les bissectrices internes en $A$ , $B$ , $C$ . Les droites images sont concourantes en $Y$ , qui est par définition le conjugué isogonal de $X$ .

Les céviennes $AY$ , $BY$ et $CY$ croisent les côtés opposés en $A'$ , $B'$ , $C'$ respectivement. Le triangle $A'B'C'$ est donc le triangle cévien de $Y$ . Le triangle $ABC$ et le triangle cévien $A'B'C'$ sont homologiques ; soit $DEF$ l'axe de l'homologie entre les deux triangles. La droite $DEF$ est la polaire trilinéaire du point $Y$ , et la droite centrale associée au centre du triangle $X$ .

Droites centrales connues

Pour le centre $X n$ de l'Encyclopedia of Triangle Centers de Clark Kimberling, on note $L n$ la droite centrale qui lui est associée. Certains droites centrales sont en effet connues et ont été étudiées.

Droite centrale associée à $X 1$ , le centre du cercle inscrit : l'axe anti-orthique

La droite centrale associée au centre du cercle inscrit $X 1 = ( 1 : 1 : 1 )$ (aussi noté $I$ ) a pour équation trilinéaire

x+y+z=0.

Cette droite est l'axe anti-orthique du triangle $ABC$ ^[6].

Le centre du cercle inscrit est son propre conjugué isogonal. Donc l'axe anti-orthique, qui est la droite centrale associée à $X 1$ , est l'axe de l'homologie entre le triangle $ABC$ et le triangle cévien du centre du cercle inscrit au triangle $ABC$ .

L'axe anti-orthique du triangle $ABC$ est aussi l'axe de l'homologie entre le triangle $ABC$ et son triangle de Bevan, formé par les bissectrices extérieures et de sommets les centres des cercles exinscrits $I 1 I 2 I 3$ ^[6].

Le triangle dont les côtés sont tangents extérieurement aux cercles exinscrits du triangle $ABC$ est le triangle extangent du triangle $ABC$ . Un triangle $ABC$ et son triangle extangent sont homologiques, d'axe l'axe anti-orthique du triangle $ABC$ .

Droite centrale associée à $X 2$ , le centre de gravité : la droite de Lemoine

Article détaillé : Symédiane.

Les coordonnées trilinéaires du centre de gravité $X 2$ (aussi noté $G$ ) du triangle $ABC$ sont $(1/ a : 1/ b : 1/ c)$ . Donc la droite centrale associée au centre de gravité est la droite d'équation trilinéaire est

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0

.

Cette droite est la droite de Lemoine, ou axe de Lemoine du triangle $ABC$ .

Le conjugué isogonal du centre de gravité $X 2$ est le point de Lemoine $X 6$ (aussi noté $K$ ) de coordonnées trilinéaires $(a : b : c)$ . Donc la droite de Lemoine de triangle ABC est la polaire triliénaire du point de Lemoine du triangle $ABC$ .

Le triangle tangentiel du triangle $ABC$ est le triangle $T A T B T C$ formé par les tangentes au cercle circonscrit du triangle $ABC$ en ses sommets. Le triangle $ABC$ et son triangle tangentiel sont homologiques et l'axe de l'homologie est la droite de Lemoine du triangle $ABC$ .

Droite centrale associée à $X 3$ , le centre du cercle circonscrit : l'axe orthique

Les coordonnées trilinéaires du centre du cercle circonscrit $X 3$ (aussi noté $O$ ) d'un triangle $ABC$ sont $(cos A : cos B : cos C)$ . Donc la droite centrale associée au centre du cercle circonscrit est la droite de coordonnées trilinéaires est

x\cos A+y\cos B+z\cos C=0

.

Cette droite est l'axe orthique du triangle $ABC$ ^[7].

Le conjugué isogonal du centre du cercle circonscrit $X 6$ est l'orthocentre $X 4$ (aussi noté $H$ ) de coordonnées $(sec A : sec B : sec C)$ . Donc l'axe orthique du triangle $ABC$ est la polaire trilinéaire de l'orthocentre du triangle $ABC$ . L'axe orthique du triangle $ABC$ est l'axe de l'homologie entre le triangle $ABC$ et son triangle orthique $H A H B H C$ .

Droite centrale associée à $X 4$ , l'orthocentre

Les coordonnées trilinéaires de l'orthocentre $X 4$ (noté souvent $H$ ) d'un triangle ABC sont $(sec A : sec B : sec C)$ . Donc la droite centrale associée à l'orthocentre est la droite d'équation trilinéaire

x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.

Le conjugué isogonal de l'orthocentre d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au même triangle. Donc la droite centrale associée à l'orthocentre est la polaire trilinéaire du centre du cercle circonscrit.

Droite centrale associée à $X 5$ , le centre du cercle d'Euler

Les coordonnées trilinéaires du centre du cercle d'Euler $X 5$ (aussi noté $N$ ) d'un triangle ABC sont $(cos (B - C) : cos (C - A) : cos (A - B))$ ^[8]. Ainsi, la droite centrale associée à ce centre est la droite d'équation trilinéaire

x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0

.

Le conjugué isogonal du centre du cercle d'Euler d'un triangle $ABC$ est le point de Kosnita $X 54$ d'un triangle $ABC$ ^[9]^,^[10]. Donc la droite centrale associée au centre du cercle d'Euler est la polaire trilinéaire du point de Kosnita. Ce point se construit ainsi :

Pour

O

le centre du cercle circonscrit du triangle

ABC

, on note

O A

,

O B

,

O C

les centres des cercles circonscrits aux triangles

BOC

,

COA

,

AOB

respectivement. Les droites

AO A

,

BO B

et

CO C

sont concourantes et ce point de concurrence est le point de Kosnita du triangle

ABC

.

Ce nom a été donné par John Rigby^[11].

Cette droite est également l'axe d'homologie entre le triangle ABC et le triangle formé par les symétriques des sommets de ABC par rapport à leurs côtés respectifs^[12].

Droite centrale associée à $X 6$ , le point de Lemoine : l'axe à l'infini

Les coordonnées trilinéaires du point de Lemoine $X 6$ (aussi noté $K$ ) du triangle $ABC$ sont $(a : b : c)$ . Donc la droite centrale associée à ce centre est la droite d'équation trilinéaire

ax+by+cz=0.

Cette droite est à l'infini dans le plan du triangle $ABC$ . En effet, le conjugué isogonal du point de Lemoine d'un triangle $ABC$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ . Ainsi l'axe central associé au point de Lemoine est la polaire trilinéaire du centre de gravité. C'est donc l'axe de l'homologie entre le triangle $ABC$ et son triangle médian. Or, ici, les deux côtés homologiques sont parallèles, donc cet axe de l'homologie est à l'infini.

D'autres droites centrales connues

Droite d'Euler

La droite d'Euler d'un triangle $ABC$ est la droite passant par le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre du cercle d'Euler de ce triangle. Son équation trilinéaire est

x\sin(2A)\sin(B-C)+y\sin(2B)\sin(C-A)+z\sin(2C)\sin(A-B)=0

.

Le centre associé à cette droite est le centre $X 647$ , qui est le centre radical du cercle circonscrit, du cercle d'Euler et du cercle de Brocard du triangle $ABC$ .

Droite de Nagel

La droite de Nagel d'un triangle $ABC$ est la droite passant par le centre de gravité, le centre du cercle inscrit, le centre de Spieker et le point de Nagel de ce triangle. Son équation trilinéaire est

x\times a\times (b-c)+y\times b\times (c-a)+z\times c\times (a-b)=0

.

Le centre associé à cette droite est le centre $X 649$ , qui est aussi l'intersection de l'axe anti-orthique et de l'axe de Lemoine.

Axe de Brocard

L'axe de Brocard d'un triangle $ABC$ est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine de ce triangle. Son équation trilinéaire est

x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0

.

Le centre associé à cette droite est le centre $X 523$ , qui est aussi le conjugué isgonal du foyer de la parabole de Kiepert du triangle $ABC$ .

Voir aussi

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Central_line_(geometry) » (voir la liste des auteurs).

↑ Clark Kimberling, « Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle », Mathematics Magazine, vol. 67, n^o 3,‎ juin 1994, p. 163–187 (DOI 10.2307/2690608)
↑ ^{a b et c} (en) Clark Kimberling, Triangle Centers and Central Triangles, Winnipeg, Canada, Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998, 285 p. (lire en ligne)
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Central Line », sur From MathWorld--A Wolfram Web Resource
↑ (en) Clark Kimberling, « Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers » [archive du 23 avril 2012] (consulté le 24 juin 2012)
↑ Eric W. Weisstein, « Trilinear Polar », sur From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (consulté le 28 juin 2012)
↑ ^{a et b} (en) Eric W. Weisstein, « Antiorthic Axis », sur MathWorld
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Orthic Axis », sur MathWorld
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Nine-Point Center », sur MathWorld
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Kosnita Point », sur MathWorld
↑ (en) Darij Grinberg, « On the Kosnita Point and the Reflection Triangle », Forum Geometricorum, vol. 3,‎ 2003, p. 105–111 (lire en ligne, consulté le 29 juin 2012)
↑ (en) John Rigby, « Brief notes on some forgotten geometrical theorems », Mathematics & Informatics Quarterly, vol. 7,‎ 1997, p. 156–158
↑ (en) Jesus Tor, « The Triangle of Reflections », Forum Geometricorum, vol. 14,‎ 2014, p. 265–294 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

Portail de la géométrie

[1] Clark Kimberling, « Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle », Mathematics Magazine, vol. 67, n^o 3,‎ juin 1994, p. 163–187 (DOI 10.2307/2690608)

[TCCT-2] {a b et c} (en) Clark Kimberling, Triangle Centers and Central Triangles, Winnipeg, Canada, Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998, 285 p. (lire en ligne)

[Eric-3] (en) Eric W. Weisstein, « Central Line », sur From MathWorld--A Wolfram Web Resource

[4] (en) Clark Kimberling, « Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers » [archive du 23 avril 2012] (consulté le 24 juin 2012)

[5] Eric W. Weisstein, « Trilinear Polar », sur From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (consulté le 28 juin 2012)

[MW_AntiOrthAxis-6] {a et b} (en) Eric W. Weisstein, « Antiorthic Axis », sur MathWorld

[7] (en) Eric W. Weisstein, « Orthic Axis », sur MathWorld

[8] (en) Eric W. Weisstein, « Nine-Point Center », sur MathWorld

[9] (en) Eric W. Weisstein, « Kosnita Point », sur MathWorld

[Darij-10] (en) Darij Grinberg, « On the Kosnita Point and the Reflection Triangle », Forum Geometricorum, vol. 3,‎ 2003, p. 105–111 (lire en ligne, consulté le 29 juin 2012)

[11] (en) John Rigby, « Brief notes on some forgotten geometrical theorems », Mathematics & Informatics Quarterly, vol. 7,‎ 1997, p. 156–158

[12] (en) Jesus Tor, « The Triangle of Reflections », Forum Geometricorum, vol. 14,‎ 2014, p. 265–294 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

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 La droite centrale associée au centre du [[cercle inscrit]] {{math|''X''<sub>1</sub> {{=}} ( 1 : 1 : 1 )}} (aussi noté {{mvar|I}}) a pour équation trilinéaire
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-Cette droite est l{{'}}'''axe anti-orthique''' du triangle {{mvar|ABC}}<ref name=MW_AntiOrthAxis>{{lien web|nom=Weisstein|prénom=Eric W.|titre=Antiorthic Axis|url=http://mathworld.wolfram.com/AntiorthicAxis.html|site=From MathWorld--A Wolfram Web Resource.|consulté le=28 juin 2012}}</ref>.
+Cette droite est l{{'}}'''axe anti-orthique''' du triangle {{mvar|ABC}}<ref name=MW_AntiOrthAxis>{{mathworld|titre=Antiorthic Axis|nom_url=AntiorthicAxis}}</ref>.
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+Le triangle dont les côtés sont [[Tangente_à_un_cercle#Tangentes_à_deux_cercles|tangents extérieurement]] aux cercles exinscrits du triangle {{mvar|ABC}} est le triangle extangent du triangle {{mvar|ABC}}. Un triangle {{mvar|ABC}} et son triangle extangent sont homologiques, d'axe l'axe anti-orthique du triangle {{mvar|ABC}}.
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 Les coordonnées trilinéaires du centre du [[cercle circonscrit]] {{math|''X''<sub>3</sub>}} (aussi noté {{mvar|O}}) d'un triangle {{mvar|ABC}} sont {{math|(cos ''A'' : cos ''B'' : cos ''C'')}}. Donc la droite centrale associée au centre du cercle circonscrit est la droite de coordonnées trilinéaires est
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+Cette droite est l{{'}}'''axe orthique''' du triangle {{mvar|ABC}}<ref>{{MathWorld|titre=Orthic Axis|nom_url=OrthicAxis}}</ref>.
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 [[File:Kosnita point.svg|thumb|400px|Construction de la droite centrale associée au centre du cercle d'Euler.]]
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+Les coordonnées trilinéaires du centre du [[cercle d'Euler]] {{math|''X''<sub>5</sub>}} (aussi noté {{mvar|N}}) d'un triangle ''ABC'' sont {{math|(cos (''B''&minus;''C'') : cos (''C''&minus;''A'') : cos (''A''&minus;''B''))}}<ref>{{MathWorld|titre=Nine-Point Center|nom_url=Nine-PointCenter}}</ref>. Ainsi, la droite centrale associée à ce centre est la droite d'équation trilinéaire
 :<math>x \cos(B-C) + y \cos(C-A) + z\cos(A-B) = 0</math>.
-Le conjugué isogonal du centre du cercle d'Euler d'un triangle {{mvar|ABC}} est le '''point de Kosnita''' {{math|''X''<sub>54</sub>}} d'un triangle {{mvar|ABC}}<ref>{{lien web|nom=Weisstein|prénom=Eric W.|titre=Kosnita Point|url=http://mathworld.wolfram.com/KosnitaPoint.html|site=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|consulté le=29 juin 2012}}</ref>{{,}}<ref name=Darij>{{article|nom=Darij Grinberg|titre=On the Kosnita Point and the Reflection Triangle|journal=Forum Geometricorum|année=2003|volume=3|pages=105–111|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200311.pdf|consulté le=29 juin 2012}}</ref>. Donc la droite centrale associée au centre du cercle d'Euler est la polaire trilinéaire du point de Kosnita. Ce point se construit ainsi :
+Le conjugué isogonal du centre du cercle d'Euler d'un triangle {{mvar|ABC}} est le '''[[Théorème de Kosnita|point de Kosnita]]''' {{math|''X''<sub>54</sub>}} d'un triangle {{mvar|ABC}}<ref>{{MathWorld|titre=Kosnita Point|nom_url=KosnitaPoint}}</ref>{{,}}<ref name=Darij>{{article|lang=en|nom=Darij Grinberg|titre=On the Kosnita Point and the Reflection Triangle|journal=Forum Geometricorum|année=2003|volume=3|pages=105–111|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200311.pdf|consulté le=29 juin 2012}}</ref>. Donc la droite centrale associée au centre du cercle d'Euler est la polaire trilinéaire du point de Kosnita. Ce point se construit ainsi :
 :Pour {{mvar|O}} le centre du cercle circonscrit du triangle {{mvar|ABC}}, on note {{mvar|O<sub>A</sub>}}, {{mvar|O<sub>B</sub>}}, {{mvar|O<sub>C</sub>}} les centres des cercles circonscrits aux triangles {{mvar|BOC}}, {{mvar|COA}}, {{mvar|AOB}} respectivement. Les droites {{mvar|AO<sub>A</sub>}}, {{mvar|BO<sub>B</sub>}} et {{mvar|CO<sub>C</sub>}} sont concourantes et ce point de concurrence est le point de Kosnita du triangle {{mvar|ABC}}.
 Ce nom a été donné par John Rigby<ref>{{article|langue=en|auteur=John Rigby|titre=Brief notes on some forgotten geometrical theorems|journal=Mathematics & Informatics Quarterly|année=1997|volume=7|pages=156–158}}</ref>.