« Nombre remarquable » : différence entre les versions
Fonctionnalité de suggestions de liens : 3 liens ajoutés. |
Rajout de liens. |
||
Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
En [[mathématiques]], certains [[nombre]]s se distinguent des autres, jouent un rôle clef, ou apparaissent curieusement dans beaucoup de [[formule (mathématiques)|formules]]. Ces nombres, considérés comme importants, sont appelés '''nombres remarquables''' et portent un nom, qui est parfois celui d'un mathématicien, d'une figure géométrique... Certains les appellent des '''[[constantes mathématiques]]''', bien que constante ne corresponde pas en [[mathématiques]] à une quantité ou un nombre, mais à une [[fonction constante]]. Il faut donc interpréter une constante mathématique comme un nombre particulier. |
En [[mathématiques]], certains [[nombre]]s se distinguent des autres, jouent un rôle clef, ou apparaissent curieusement dans beaucoup de [[formule (mathématiques)|formules]]. Ces nombres, considérés comme importants, sont appelés '''nombres remarquables''' et portent un nom, qui est parfois celui d'un mathématicien, d'une figure géométrique... Certains les appellent des '''[[Table de constantes mathématiques|constantes mathématiques]]''', bien que constante ne corresponde pas en [[mathématiques]] à une quantité ou un nombre, mais à une [[fonction constante]]. Il faut donc interpréter une constante mathématique comme un nombre particulier. |
||
Beaucoup de nombres en mathématiques ont une signification particulière et apparaissent dans différents contextes. Par exemple, on a le théorème suivant : |
Beaucoup de nombres en mathématiques ont une signification particulière et apparaissent dans différents contextes. Par exemple, on a le théorème suivant : |
||
Ligne 11 : | Ligne 11 : | ||
Certains nombres réels remarquables, peuvent être classés en fonction de leur représentation sous forme de [[fraction continue]]. |
Certains nombres réels remarquables, peuvent être classés en fonction de leur représentation sous forme de [[fraction continue]]. |
||
== Entiers remarquables == |
== [[Entier naturel|Entiers]] remarquables == |
||
* [[ |
* [[Zéro|0]] : [[élément neutre]] du [[Groupe (mathématiques)|groupe]] additif '''Z''', remarquable pour son histoire ; |
||
* [[1 (nombre)|1]] : élément neutre du [[monoïde]] multiplicatif '''Z''', première quantité identifiée ; |
* [[1 (nombre)|1]] : élément neutre du [[monoïde]] multiplicatif '''Z''', première quantité identifiée ; |
||
* [[2 (nombre)|2]] : le seul [[nombre premier]] pair ; |
* [[2 (nombre)|2]] : le seul [[nombre premier]] pair ; |
||
Ligne 29 : | Ligne 29 : | ||
** 2 305 843 008 139 952 128 ; |
** 2 305 843 008 139 952 128 ; |
||
* le [[gogol (nombre)|gogol]], 10{{exp|100}} est supérieur au nombre d'[[atome]]s dans l'[[Univers]] ; |
* le [[gogol (nombre)|gogol]], 10{{exp|100}} est supérieur au nombre d'[[atome]]s dans l'[[Univers]] ; |
||
* le [[nombre de Shannon]], 10{{exp|120}}, est une estimation de la [[Théorie de la complexité (informatique théorique)|complexité]] du [[jeu d'échecs]] ; |
* le [[nombre de Shannon]], 10{{exp|120}}, est une estimation de la [[Théorie de la complexité (informatique théorique)|complexité]] du [[Échecs|jeu d'échecs]] ; |
||
* le [[nombre de Graham]] est connu pour avoir été longtemps le plus grand entier apparaissant dans une démonstration mathématique. Ses dix derniers chiffres sont 2 464 195 387. |
* le [[nombre de Graham]] est connu pour avoir été longtemps le plus grand entier apparaissant dans une démonstration mathématique. Ses dix derniers chiffres sont 2 464 195 387. |
||
== Nombres rationnels remarquables == |
== [[Nombre rationnel|Nombres rationnels]] remarquables == |
||
* Les [[Nombre décimal|nombres décimaux]] possèdent un [[développement décimal]] limité. |
* Les [[Nombre décimal|nombres décimaux]] possèdent un [[développement décimal]] limité. |
||
Ligne 39 : | Ligne 39 : | ||
* La [[racine carrée de deux]], est un [[nombre irrationnel]], solution de l'équation <math>x^2 = 2</math>. C'est peut-être le premier irrationnel à avoir été mis en évidence par les Grecs ; il est égal à la longueur de la diagonale d'un carré de côté un ; il intervient dans les formules donnant les volumes du [[tétraèdre]] et de l'[[octaèdre]] ; |
* La [[racine carrée de deux]], est un [[nombre irrationnel]], solution de l'équation <math>x^2 = 2</math>. C'est peut-être le premier irrationnel à avoir été mis en évidence par les Grecs ; il est égal à la longueur de la diagonale d'un carré de côté un ; il intervient dans les formules donnant les volumes du [[tétraèdre]] et de l'[[octaèdre]] ; |
||
* le [[Unité imaginaire|nombre <math>\mathrm{i}</math>]], [[nombre imaginaire pur]], est une des deux solutions complexes de l'équation <math>x^2+1=0</math> permettant l'extension de l'ensemble des nombres réels à l'ensemble des [[nombres complexes]] ; l'autre solution est son opposé <math>-\mathrm{i}</math> ; |
* le [[Unité imaginaire|nombre <math>\mathrm{i}</math>]], [[nombre imaginaire pur]], est une des deux solutions complexes de l'équation <math>x^2+1=0</math> permettant l'extension de l'ensemble des nombres réels à l'ensemble des [[Nombre complexe|nombres complexes]] ; l'autre solution est son opposé <math>-\mathrm{i}</math> ; |
||
* le [[nombre d'or]], souvent noté φ, égal à <math>(1+\sqrt{5})/2</math> ; |
* le [[nombre d'or]], souvent noté φ, égal à <math>(1+\sqrt{5})/2</math> ; |
||
* <math>\frac{1+\sqrt {3}}2 = [1,2,1,2,\ldots] = [ \overline{1,2}]</math> fait partie des nombres irrationnels qui possèdent un développement en [[fraction continue]] [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Développement purement périodique|purement périodique]] . |
* <math>\frac{1+\sqrt {3}}2 = [1,2,1,2,\ldots] = [ \overline{1,2}]</math> fait partie des nombres irrationnels qui possèdent un développement en [[fraction continue]] [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Développement purement périodique|purement périodique]] . |
||
Ligne 60 : | Ligne 60 : | ||
== [[Nombre normal|Nombres normaux]] == |
== [[Nombre normal|Nombres normaux]] == |
||
* Le '''nombre de Champernowne''' |
* Le '''[[Constante de Champernowne|nombre de Champernowne]]''' |
||
: 0,1234567891011121314151617... |
: 0,1234567891011121314151617... |
||
qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels, est normal en base 10 mais il ne l'est pas dans certaines autres bases. |
qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels, est normal en base 10 mais il ne l'est pas dans certaines autres bases. |
||
Ligne 66 : | Ligne 66 : | ||
* La [[constante de Copeland-Erdős]] |
* La [[constante de Copeland-Erdős]] |
||
: 0,2357111317192329313741... |
: 0,2357111317192329313741... |
||
obtenue en concaténant les [[nombre premier|nombres premiers]] est connue comme étant un nombre normal en [[décimal|base 10]]. |
obtenue en concaténant les [[nombre premier|nombres premiers]] est connue comme étant un nombre normal en [[Nombre décimal|base 10]]. |
||
On ne sait pas si [[Racine carrée de deux|√2]], [[Pi|π]], [[ |
On ne sait pas si [[Racine carrée de deux|√2]], [[Pi|π]], [[Logarithme népérien de deux|ln(2)]] ou [[e (nombre)|''e'']] sont normaux. |
||
== Nombres complexes remarquables == |
== [[Nombre complexe|Nombres complexes]] remarquables == |
||
* Selon l'[[hypothèse de Riemann]], les zéros non triviaux de la [[fonction zêta de Riemann]] ont tous pour partie réelle 1/2. Cette [[conjecture]] constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques actuelles. |
* Selon l'[[hypothèse de Riemann]], les zéros non triviaux de la [[fonction zêta de Riemann]] ont tous pour partie réelle 1/2. Cette [[conjecture]] constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques actuelles. |
||
== Nombres réels au statut indéterminé == |
== [[Nombre réel|Nombres réels]] au statut indéterminé == |
||
Nombres dont on ne sait pas s'ils sont rationnels ou non : |
Nombres dont on ne sait pas s'ils sont rationnels ou non : |
||
* la [[constante d'Euler-Mascheroni]] γ ; |
* la [[constante d'Euler-Mascheroni]] γ ; |
Dernière version du 20 mars 2024 à 19:45
En mathématiques, certains nombres se distinguent des autres, jouent un rôle clef, ou apparaissent curieusement dans beaucoup de formules. Ces nombres, considérés comme importants, sont appelés nombres remarquables et portent un nom, qui est parfois celui d'un mathématicien, d'une figure géométrique... Certains les appellent des constantes mathématiques, bien que constante ne corresponde pas en mathématiques à une quantité ou un nombre, mais à une fonction constante. Il faut donc interpréter une constante mathématique comme un nombre particulier.
Beaucoup de nombres en mathématiques ont une signification particulière et apparaissent dans différents contextes. Par exemple, on a le théorème suivant : il existe une unique fonction holomorphe, appelée exponentielle et notée , telle que
- pour tout complexe ;
L'exponentielle de un, , est le nombre remarquable noté . De plus la fonction est périodique, de période , un autre nombre remarquable.
Les nombres remarquables sont typiquement des éléments du corps des nombres réels ou des complexes. En tous cas, ces nombres particuliers sont toujours définissables, et ceux existant actuellement ont une (ou plusieurs) définition rigoureuse. D'autre part, ils sont presque toujours calculables. Mais il existe des nombres remarquables pour lesquels seules des valeurs approchées grossières sont connues. Certains nombres réels remarquables, peuvent être classés en fonction de leur représentation sous forme de fraction continue.
Entiers remarquables[modifier | modifier le code]
- 0 : élément neutre du groupe additif Z, remarquable pour son histoire ;
- 1 : élément neutre du monoïde multiplicatif Z, première quantité identifiée ;
- 2 : le seul nombre premier pair ;
- les nombres premiers ;
- en 2019, le plus grand nombre premier connu était un nombre premier de Mersenne, 282 589 933 – 1 ;
- le plus grand couple de nombres premiers jumeaux connu (fin 2019) est 2 996 863 034 895 × 21 290 000 ± 1 ; ils possèdent 388 342 chiffres en écriture décimale ;
- les nombres parfaits, qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs (entiers naturels) sauf eux-mêmes. On en connaît 48, dont huit inférieurs à 1021 :
- 6 ;
- 28 ;
- 496 ;
- 8 128 ;
- 33 550 336 ;
- 8 589 869 056 ;
- 137 438 691 328 ;
- 2 305 843 008 139 952 128 ;
- le gogol, 10100 est supérieur au nombre d'atomes dans l'Univers ;
- le nombre de Shannon, 10120, est une estimation de la complexité du jeu d'échecs ;
- le nombre de Graham est connu pour avoir été longtemps le plus grand entier apparaissant dans une démonstration mathématique. Ses dix derniers chiffres sont 2 464 195 387.
Nombres rationnels remarquables[modifier | modifier le code]
- Les nombres décimaux possèdent un développement décimal limité.
Nombres algébriques remarquables[modifier | modifier le code]
- La racine carrée de deux, est un nombre irrationnel, solution de l'équation . C'est peut-être le premier irrationnel à avoir été mis en évidence par les Grecs ; il est égal à la longueur de la diagonale d'un carré de côté un ; il intervient dans les formules donnant les volumes du tétraèdre et de l'octaèdre ;
- le nombre , nombre imaginaire pur, est une des deux solutions complexes de l'équation permettant l'extension de l'ensemble des nombres réels à l'ensemble des nombres complexes ; l'autre solution est son opposé ;
- le nombre d'or, souvent noté φ, égal à ;
- fait partie des nombres irrationnels qui possèdent un développement en fraction continue purement périodique .
Nombres algébriques non constructibles[modifier | modifier le code]
- L'heptagone n'est pas constructible à la règle et au compas parce que n'est pas un nombre constructible. Le réel x est cependant algébrique, puisqu'il est racine de .
Nombres transcendants[modifier | modifier le code]
- π (d'après Ferdinand von Lindemann, 1882) ;
- e (d'après Charles Hermite, 1873) ;
- au moins l'un des nombres et est transcendant[1] ;
- la constante de Prouhet-Thue-Morse ;
- le nombre de Dottie.
Nombres transcendants non calculables[modifier | modifier le code]
- La constante Oméga de Chaitin Ω est bien définie mais n'est pas calculable.
Nombres normaux[modifier | modifier le code]
- 0,1234567891011121314151617...
qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels, est normal en base 10 mais il ne l'est pas dans certaines autres bases.
- 0,2357111317192329313741...
obtenue en concaténant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.
On ne sait pas si √2, π, ln(2) ou e sont normaux.
Nombres complexes remarquables[modifier | modifier le code]
- Selon l'hypothèse de Riemann, les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques actuelles.
Nombres réels au statut indéterminé[modifier | modifier le code]
Nombres dont on ne sait pas s'ils sont rationnels ou non :
- la constante d'Euler-Mascheroni γ ;
- la constante de Khintchine ;
- la constante de Catalan souvent notée ;
- les nombres de Feigenbaum : probablement transcendants.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Les nombres et sont des racines de l'équation . Si et étaient algébriques, on en déduirait que et le sont aussi. En fait, on s'attend à ce que et soient tous deux transcendants mais on ne sait pas le montrer.
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- François Le Lionnais et Jean Brette, Les Nombres remarquables, Paris, Hermann, , 158 p. (ISBN 2-7056-1407-9)
- David Wells (trad. Marc Genevrier), Dictionnaire Penguin des nombres curieux, Eyrolles, , 239 p. (ISBN 978-2-2120-3636-7)
- Daniel Lignon, Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers, Ellipses, , 702 p. (ISBN 978-2-7298-7638-8)
- Jean-Marie de Koninck, Ces nombres qui nous fascinent, Ellipses, , 448 p. (ISBN 978-2-3400-2513-4)
Articles connexes[modifier | modifier le code]
Liens externes[modifier | modifier le code]
- Des constantes mathématiques (fr)
- (en) Eric W. Weisstein, « Constant », sur MathWorld