Force d'inertie

Une force d'inertie, ou inertielle, ou force fictive, est une force apparente, ou pseudo-force, qui agit sur les masses lorsqu'elles sont observées à partir d'un référentiel non inertiel, autrement dit depuis un point de vue en mouvement accéléré (en translation ou en rotation).

Les forces d'inertie sont un artifice mathématique présentant deux avantages :

• une simplification calculatoire : elles permettent de poser les équations du principe fondamental de la dynamique (lois de Newton) dans un référentiel non inertiel.
• une approche intuitive : elles représentent les forces ressenties dans un référentiel non inertiel.

Les forces d'inertie se décomposent généralement en deux composantes : la force d'inertie d'entraînement et la force d'inertie de Coriolis.

Principe

La mécanique classique fait intervenir les lois de Newton. Celles-ci ne sont valables que dans un référentiel inertiel. Dans un référentiel non inertiel, les lois de Newton ne peuvent plus s'écrire, sauf en ajoutant des forces fictives : les forces d'inertie.

Pour un observateur extérieur situé dans le référentiel galiléen, il n'y a pas de force d'inertie. Il n'y a qu'un effet de l'inertie (Première loi de Newton ou Principe d'inertie « Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état. »).

Prenons le cas d'une voiture freinant violemment, le passager n'a pas mis sa ceinture et est éjecté. Deux points de vue sont possibles :

• Pour le passager, son siège reste immobile et une force le pousse vers l'avant : il subit une force d'inertie.
• Pour un piéton situé sur le bas-coté, le siège du passager s'arrête et le passager poursuit son mouvement, c'est-à-dire que le piéton n'observe aucune force sur le passager.

Expressions

Soit (R) un référentiel galiléen centré en 0, et (R') un référentiel non galiléen centré en A, dont la rotation (instantanée) autour de (R) est donnée par le vecteur ${\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}$. Soit un point M mobile de masse m subissant des forces de résultante ${\vec {\mathrm {F} }}$. Soit ${\vec {v}}_{\mathrm {r} }={\vec {v}}(\mathrm {M} )_{(\mathrm {R'} )}$ la vitesse relative de M dans (R').

Alors, d'après la loi de composition des mouvements, en notant ${\vec {a}}_{\mathrm {a} }$ l'accélération absolue dans (R), ${\vec {a}}_{\mathrm {r} }$ l'accélération relative dans (R'), ${\vec {a}}_{\mathrm {e} }$ l'accélération d'entraînement et enfin ${\vec {a}}_{\mathrm {c} }$ l'accélération de Coriolis, on a :

${\vec {a}}_{\mathrm {a} }={\vec {a}}_{\mathrm {r} }+{\vec {a}}_{\mathrm {e} }+{\vec {a}}_{\mathrm {c} }$

Or, d'après le principe fondamental de la dynamique, on a : $m\ {\vec {a}}_{\mathrm {a} }={\vec {\mathrm {F} }}$

D'où, dans (R'): $m{\vec {a}}_{\mathrm {r} }={\vec {\mathrm {F} }}-m{\vec {a}}_{\mathrm {e} }-m{\vec {a}}_{\mathrm {c} }$

En définissant les forces d'inertie ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }=-m{\vec {a}}_{\mathrm {e} }$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ic} }=-m{\vec {a}}_{\mathrm {c} }$, on peut alors écrire le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel (R') non galiléen :

$m{\vec {a}}_{\mathrm {r} }={\vec {\mathrm {F} }}+{\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }+{\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ic} }$

La force ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }$ est appelée force d'inertie d'entrainement, et son expression développée est :

${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }=-m{\vec {a}}_{\mathrm {e} }=-m\left[{\vec {a}}(\mathrm {A} )_{(\mathrm {R} )}+\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}}{\mathrm {d} t}}\right)_{(\mathrm {R} )}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}+{\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}\wedge ({\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {AM} }})\right]$

La force ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ic} }$ est appelée force d'inertie de Coriolis, et son expression développée est :

${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ic} }=-m{\vec {a}}_{\mathrm {c} }=-m2{\vec {\Omega }}_{(\mathrm {R'/R} )}\wedge {\vec {v}}_{\mathrm {r} }$

Quelques cas d'application simples

Référentiel en accélération constante dans un référentiel galiléen

Supposons que (R') subisse une accélération constante ${\vec {a}}$ dans (R). (R') est donc animé d'un mouvement linéaire uniformément accéléré dans (R).

Dans (R), il faut ajouter la force d'inertie d'entrainement ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }$ qui vaut alors simplement : ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }=-m{\vec {a}}$

C'est ce qui se passe par exemple dans une voiture en ligne droite : la force d'inertie s'oppose à l'accélération de la voiture.

Référentiel en rotation uniforme

Dans un manège tournant à la vitesse angulaire $\Omega$, nous avons tendance à nous éloigner du centre de rotation noté A ; cela est dû à la force d'inertie d'entrainement qui vaut alors :

${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ie} }=m\Omega ^{2}{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}$

Cette force est encore appelée force centrifuge (ou axifuge) car elle a tendance à éloigner un objet de l'axe de rotation.

En quoi ces forces sont-elles fictives ?

En mécanique newtonienne, un objet non accéléré dans un référentiel inertiel :

• ne peut être accéléré que par l'application d'une force sur cet objet.
• paraît accéléré dans un référentiel non inertiel local.

Aussi, l'observateur dans ce référentiel local attribue intuitivement, mais faussement, l'explication de cette accélération à une force appliqué sur l'objet observé.

Mais en mécanique classique, une force a un sens plus strict. Une force :

• est la modélisation d'une interaction, c'est-à-dire de l'action d'un objet sur un autre. C'est le cas en particulier des interactions de contact (pression, frottement, interaction dans une liaison) ou à distance (force gravitationnelle, force électrostatique, force électromagnétique).
• respecte le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton).

Une force d'inertie ne respecte ni l'une ni l'autre de ces conditions.

Prenons le cas d'une voiture freinant violemment, le passager n'a pas mis sa ceinture et est éjecté. Deux points de vue sont possibles :

• Pour le passager, son siège reste immobile et une force le pousse vers l'avant : il subit une force d'inertie.
• Pour un piéton situé sur le bas-coté (référentiel supposé inertiel) :
  • une force de frottement vers l'arrière exercée sur les pneus s'oppose à l'inertie de la voiture (première loi de newton) et a pour conséquence l'arrêt de la voiture (et donc du siège du passager).
  • aucune force ne s'exerce sur le passager : le passager poursuit son mouvement.

Bien que mathématiquement parfaitement équivalents, ces deux points de vue ne se valent pas. En effet, une force est une notion absolue et si le passager observe un accéléromètre pendant son vol plané, la valeur d'accélération mesurée sera nulle. On voit dans cet exemple que les forces d'inertie ne résultent pas d'une action directe sur l'objet observé, mais elles sont les conséquences indirectes d'une action sur le référentiel local.

Certains auteurs utilisent plutôt les termes d'accélération centrifuge, accélération inertielle et effet de Coriolis pour désigner les causes de ce que d'autres nomment respectivement force centrifuge, force inertielle et force de Coriolis.

Voir aussi

• Force de Coriolis
• Force centrifuge
• Référentiel non inertiel
• Composition des mouvements